ベクトルと平面図形

質問

三角形OABにおいて、辺OAを 1 : s ( >0) に内分する点をP, 辺OB を 1 : t ( >0) に内分する点を Q とする。線分BP と AQ の交点を R とする。

(1)OR ベクトルを a ベクトル = OA ベクトル , b ベクトル = OB ベクトル　s , t を用いて表せ。

(2)線分 OR が角 AOB を２等分するとき、 s : t を | a ベクトル | , | b ベクトル | を用いて表せ。

という問題なのですが、(1)は理解できて、

OR ベクトル = t * a ベクトル / ( st + s + t ) + s * b ベクトル / ( st + s + t )

となるのですが、(2)の解答は次のようになっています。

（解答）「　直線 OR と 辺 AB との交点を D　とする。
このとき、　ｋ　を実数として、OD　ベクトル　＝　ｋOR　ベクトル　とおける。　よって
OD　ベクトル　＝　ｋ　{　ｔ　＊　a ベクトル　/ ( st + s + t )　＋　ｓ　＊　ｂ ベクトル　/ ( st + s + t )　｝
点　D　は辺　AB　上の点であるから　ｋｔ / （ｓｔ ＋　ｓ　＋　ｔ）＋　ｋｓ / （ｓｔ ＋　ｓ　＋　ｔ）＝　１

ゆえに　ｋ　＝　（ｓｔ　＋　ｓ　＋　ｔ）/ （ｓ　＋　ｔ）
よって　OD　ベクトル　＝　ｔ * a ベクトル / （ｓ＋ｔ）＋ｓ * ｂ ベクトル / （ｓ＋ｔ）

したがって　AD　：　DB　＝　ｓ / （ｓ　＋　ｔ）　：　ｔ / （ｓ　＋　ｔ）＝　ｓ　：　ｔ　・・・(3)
また、線分　OD　が角　AOB　を２等分することから　AD　：　DB　＝　OA　：　OB　＝　｜ａベクトル｜　：　｜ｂベクトル｜　・・・(4)
(3)、(4)から　ｓ　：　ｔ　＝　｜ａベクトル｜　：　｜ｂベクトル｜　」
となっているのですが、
自分の解答では
「　直線 OR と 辺 AB との交点を D　とする。　
線分　ＯＤ　は角　ＡＯＢ　の二等分線であるから、　ＯＡ　：　ＯＢ＝　ＡＤ　：　ＤＢ
すなわち　１　＋　ｓ　：　１　＋　ｔ　＝　｜ａベクトル｜：｜ｂベクトル｜

よって、ｓ　：　ｔ　＝　｜ａベクトル｜：｜ｂベクトル｜　」

という解答になりました。なにか間違っているような気もするんですが、いまいち何が間違っているのかわかりません。どなたかわかる方ご教授願えませんでしょうか？

回答No.1

noname#75273

>> すなわち 1 + s : 1 + t = ｜a↑｜：｜b↑｜
ここで、OA : OB = 1 + s : 1 + t としているのが間違いです。
1 + s : 1 + t の「1 + s」、「1 + t」は比です。長さではありません。

また、後半の
>> 1 + s : 1 + t = s : t も間違いです。
例をあげれば、明らかですが、
5 : 4 = 5 - 1 : 4 - 1 = 4 : 3

成立する式は、OA : OB = AD : BD = ｜a↑｜：｜b↑｜までです。

お礼

自分の間違えがわかりました。ご丁寧にありがとうございました。