数学Ｂのベクトルの問題です。

質問

Oを原点とする座標空間内に、４点A(2,-3,2)、B(1,-4,1)、C(1,3,3)、D(3,4,1)がある。直線AB,
CD上の点P、Qを
　　→　　　　→　　　→　→　　　　→　　→
　　OP=(1-s)OA;+sOB、OQ=(1-t)OC+tOD(s,tは実数)
と表し、→　→
　　　　OR= PQによって定まる点Rをとる。s、tが0≦s≦1、0≦t≦1の範囲で変化するとき、点Rがえがく図形Fの面積を求めよ。さらに、線分ORが動いて出来る立体Gの体積を求めよ。
という問題なのですが、条件式をRについて解いたあとの求め方がよくわかりません。考え方を含めて回答よろしくお願いします。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

＞
＞ベクトルを↑で表します。
↑PQ=↑OQ-↑OP=(1-t)↑OC+t↑OD-(1-s)↑OA-s↑OB
=↑(1-t)(1,3,3)+↑t(3,4,1)-↑(1-s)(2,-3,2)-↑s(1,-4,1)
=↑{(1-t)+3t-2(1-s)-s,3(1-t)+4t+3(1-s)+4s,3(1-t)+t-2(1-s)-s)}
=↑(-1+2t+s,6+t+s,1-2t+s)
x=-1+2t+s、y=6+t+s、z=1-2t+sとおいてs、tを消去すると、
3x-4y+z+26=0となり、これはx,y,zを直交座標とする三次元空間に
おける法線ベクトル↑N=(3,-4,1)の平面の方程式である。
よって点Rはこの平面上にあり、t=0でsを0から1まで動かすとx=-1+s、
y=6+s、z=1+sから点Rは(-1,6,1)から(0,7,2)まで動き、s=1でtを
0から1まで動かすとx=2t、y=7+t、z=2-2tから点Rは(0,7,2)から
(2,8,0)まで動き、t=1でsを0から1まで動かすとx=1+s、y=7+s、z=-1+s
から点Rは(1,7,-1)から(2,8,0)まで動き、s=0でtを0から1まで動かすと
点Rは(-1,6,1)から(1,7,-1)まで動くことになるので、図形Fは、
点E(-1,6,1)、点F(0,7,2)、点G(2,8,0)、点H(1,7,-1)を4頂点とする
四角形になる。
↑EF=↑OF-↑OE=↑(0,7,2)-↑(-1,6,1)=↑(1,1,1)
↑FG=↑OG-↑OF=↑(2,8,0)-↑(0,7,2)=↑(2,1,-2)
↑GH=↑OH-↑OG=↑(1,7,-1)-↑(2,8,0)=↑(-1,-1,-1)
↑HE=↑OE-↑OH=↑(-1,6,1)-↑(1,7,-1)=↑(-2,-1,2)
から、↑EF=-↑GH、↑FG=-↑HEとなるので、図形Fは平行四辺形。
ベクトルの外積を↑×↑で表し、図形Fの面積をSとすると
S=|↑EF|*|↑FG|*sin∠EFG=|↑EF×↑FG|=|↑(1,1,1)×↑(2,1,-2)|
=|↑{1*(-2)-1*1,1*2-1*(-2),1*1-1*2}|=|↑(-3,4,-1)|
=√(9+16+1)=√26・・・答
　体積は平面3x-4y+z+26=0と原点Oとの距離を計算し、図形Fを
底面とする四角錐の体積として算出します。

お礼

非常に詳しい回答ありがとうございます。
地道に計算していくとできました。ありがとうございました。

回答No.3

yyssaa

＞体積計算の別解です。
スカラー三重積を習っていれば、求める四角錐の体積はスカラー三重積で
計算でき、(1/3)*↑OE・(↑EF×↑FG)となります。
(1/3)*↑OE・(↑EF×↑FG)=(1/3)*↑(-1,6,1)・{↑(1,1,1)×↑(2,1,-2)}
=(1/3)*↑(-1,6,1)・↑(-2-1,2+2,1-2)=(1/3)*↑(-1,6,1)・↑(-3,4,-1)
=(1/3)(3+24-1)=26/3となり、前の答と一致します。

お礼

別解までありがとうございます。まだスカラー三重積は習っていないので、習ってからまた見直したいと思います。ありがとうございました。

回答No.2

yyssaa

＞続きです。平面3x-4y+z+26=0と原点Oとの距離を求め、体積を計算
します。
平面3x-4y+z+26=0と原点Oとの距離をLとすると、Lは法線ベクトル
↑N=(3,-4,1)を使ってL=|↑N|=√(9+16+1)=√26と求められますが、
ここでは確認のため、原点Oから平面3x-4y+z+26=0に下ろした垂線の
長さを計算します。
原点からこの平面に下ろした垂線の足をM(x0,y0,z0)とすると、点Mは
平面上にあるから3x0-4y0+z0+26=0・・・・・(1)
↑OMと↑EF、↑OMと↑FGはそれぞれ直交するので、内積を↑・↑で表すと
↑OM・↑EF=↑(x0,y0,z0)・↑(1,1,1)=x0+y0+z0=0・・・・・(2)
↑OM・↑FG=↑(x0,y0,z0)・↑(2,1,-2)=2x0+y0-2z0=0・・・・・(3)
(1)(2)(3)を連立で解いてx0=-3、y0=4、z0=-1。
よって↑OM=↑(x0,y0,z0)=↑(-3,4,-1)となるので、
L=|↑OM|=√(9+16+1)=√26
ORが動いて出来る立体は図形Fを底面とし高さがLの四角錐となるので、
その体積は(1/3)*√26*√26=26/3・・・答

お礼

引き続いて回答ありがとうございます。僕は体積の求め方がよくわかりませんでしたが、理解できました。ありがとうございました。