数列の極限値の問題

質問

数学の問題です、最初に何をしていいのかもよくわかりません。
どなたかご教授頂けますか。
an+1=√(an+k) (但しｎ=1,2,... 、ｋは正、a1は正）
このとき、lim(n→∞）anが存在することを証明し、その値を求めよ。

回答No.4

piyo_hiyokosan

同じく回答No.2の者です。何度もすいません…

No.2に書いたことでいろいろ書き間違いがあります！ごめんなさい！

まず、
(2)の式を導いたところで同値変形の形をとっていますが、これは同値じゃないですよね。
(1)より～と解釈してください。

そして、
繰り返し用いるところの直前。
a[n+1] - α ≦M｛a[n]-α｝とかけます。(Mは１より小さい正の数)
　　　　　≦M^2｛a[n-1]-α｝
　　　　　≦M^3｛a[n-2]-α｝
　　　　　…
↑↑↑↑ですね。
nの部分をだんだん下げていくのです。
ずっとnのままでは意味が分かりませんよね。

たびたび失礼いたしました！
お役に立てれば幸いです。

回答No.3

piyo_hiyokosan

回答No.2の者です。
すいません！値を答えていませんでした！！

続きで、
α=√(α+k) 　（αは正）ですので
両辺を二乗して、α^2=α+k
⇔α^2-α-k=0
⇔α=1±√(1+4k)

ここで、α＝1+√(1+4k) または１+√(1-4k)なのですが、
ｋもαもともに正の数ですので答えは
1+√(1+4k) となります。

回答No.2

piyo_hiyokosan

質問者様の書き方がよく分からないのですが、とりあえず『a[n+1]=√(a[n]+k)』であると受け取ります。（違っていたらごめんなさい！）

a[n+1]=√(a[n]+k)　より
a[n+1]=f(a[n])　　…(1)　とします。　（f(x)はxが十分大のとき連続な関数）
つまり、f(x)=√(x+k)

lim[n→∞] a[n]=αが存在するとすれば、f(x)が連続であることから
lim[n→∞] a[n+1]の値も同様にαとなり、
(1)⇔α=f(α)　　…(2)

数列 {a[n]}が確かにαに収束することを示すには、このαに対して lim[n→∞]（a[n]-α）=0となることが示せればよいです。

(1)(2)より、a[n+1] - α =f(a[n]) - f(α)
⇔a[n+1] - α =√(a[n]+k) - √(α+k)
　　　　　 =｛(a[n]+k) - (α+k)｝ / ｛√(a[n]+k) + √(α+k)｝
（分母、分子に｛√(a[n]+k) + √(α+k)｝をかけました）
　　　　　 =｛a[n]-α｝ / ｛√(a[n]+k) + √(α+k)｝

ここで｛１ / √(a[n]+k) + √(α+k)｝は１より小さい正の数です。

すると、
a[n+1] - α ≦M｛a[n]-α｝とかけます。(Mは１より小さい正の数)
　　　　　≦M^2｛a[n]-α｝
　　　　　≦M^3｛a[n]-α｝
　　　　　…

これを繰り返して、
0＜|a[n]-α|≦M^(n-1) |a[1]-α|…(3)
Mは１より小さい数ですので、n→∞のときM^(n-1)→０に近づきます。

よって、(3)の最右辺→０
はさみうちの原理より、lim[n→∞]（a[n]-α）=0
つまり、lim[n→∞] a[n] =α　となり、有限確定値αの存在を示せます。

回答No.1

shintaro-2

とりあえず、
添え字を［］で括ります

a[n+1]を　a[1]で表す式を考えてください。