証明の問題がわからないです

質問

「aとbが互いに素であるとき、
a^2とb^2が互いに素であることを証明せよ」何ですが模範解答を教えてください

素因数分解の一意性から、
a,bの素因数分解が
a=a_1・a_2…a_m　(各a_iは素数)
b=b_1・b_2…b_n　(各b_jは素数)のように示すのではなく　最大公約数を考えて背理法で示すやり方でお願いします

回答No.3

dame_dame_ · ベストアンサー

a^2=mk
b^2=ml
とおくと(mは最大公約数、k,lは互いに素)
a^2b^2=(ab)^2=m^2kl
より
ab=m√(kl)
kとlが互いに素だからこれが整数になるためには
k=s^2,l=t^2の形になる
このとき
a^2=ms^2からa=√msであり
m=n^2の形となるからaとbはともにnで割り切れて矛盾

たぶん、こんな感じかなと

回答No.4

muturajcp

Z=(全整数)
A=Z[√-3]={x+y√-3|{x,y}⊂Z}
とすると
Aは環となる
Aの単元は1,-1だけとなる
a=2
b=1+√-3
とすると
2と1+√-3は素元で
2と1+√-3の公約元は単元しかないから
2と1+√-3は互いに素となる
2^2=4=(1+√-3)(1-√-3)
だから
1+√-3は2^2と(1+√-3)^2の単元でない公約元だから
2^2と(1+√-3)^2は互いに素でない。
∴
素因子分解の一意性が成り立たない環Aでは
「{a,b}⊂A,aとbが互いに素→a^2とb^2が互いに素」は成り立たない

a=2
b=m=l=1+√-3
k=1-√-3
とすると
ab=m√(kl)=(1+√-3)√{(1-√-3)(1+√-3)}
k=1-√-3とl=1+√-3は互いに素
√(kl)=2は整数で,m√(kl)∈Aだが,
k=s^2,l=t^2,s∈A,t∈Aとなるs,tは存在しない
∴
素因子分解の一意性が成り立たない環Aでは
「{k,l,a}⊂A,kとlが互いに素,kl=a^2
→k=s^2,l=t^2,s∈A,t∈Aとなるs,tがある」は成り立たない

回答No.2

Tacosan

「最大公約数を考えて背理法で示すやり方」とやらが何を想定したものなのかわかりません.

と書きつつはったりで「てきとうに 2乗とか 4乗とか 17乗とかすればできるんじゃないか」と漏らしてみる.

回答No.1

noname#157574

＞証明の問題がわからないです
日本語がなっておりません。「証明の問題がわかりません」とすべきです。
このような難しい問題は、alice_44先生やKnotopolog先生などに聞いてください。