平成12年東大プレの５番について

質問

a,bは正の定数とする
正の数x、yがa/x + b/y=1を満たしながら動くときx^2+y^2の最小値を求めよ

と言う問題です。

これを見た瞬間にコーシーシュワルツだとおもい解答したのですが×でした。（コーシーだとax+by+2√（abxy）になりました）
答えは一文字固定で解答するらしいのですが、なぜコーシーシュワルツは駄目なんですか？

回答No.1

nich · ベストアンサー

え？こーしーシュワルツを使ったときの答えがax+by+2√（abxy）になったの？はっきり言ってこの値には何の意味もありませんよ。
だって最小値をｘとｙを用いて表しても、ｘとｙは変数なんだから。
あなたが求めたのは、ただ
x^2+y^2≧ax+by+2√（abxy)　が恒等的に成り立ちますよ、っと言ったに過ぎないのです。

同じような例に、t^2+1≧√t^2＝±t (相加・相乗平均の間違った使い方。) がありますが、これも意味のない変形です。

お礼

質問してから自分の間違いに気づきました
すいません勘違いでした。

回答No.3

eatern27

＞（コーシーだとax+by+2√（abxy）になりました)

これは、最小値がax+by+2√（abxy）になった、という意味ですか？そうだとしたら、コーシーだから×なのではなく、答えが違うから×なんだと思いますよ。(最小値にx,yが含まれている時点でアウト)

もし、違う意味だったら、補足を下さい。

ただ、模範解答が一文字固定だからたといって、それ以外の解き方だと×になる、という事は絶対にありません。論理的に正しい解き方であれば、○になります。なので、cosXさんの解答のどこかでミスったのでしょう。どこでミスったかは,その解答を書いてくれれば、指摘できると思います。

ってか、この問題,コーシーを使って解けますか？私には思いつきません。(確かに、使えそうな雰囲気はあるのですが)a/x + b/y=1ではなく、x/a+y/b=1であれば使えるのですがねぇ。

お礼

実は質問してから気づいたんですｗ
あーこんなので悩んでいたのか・・・と
勘違いです。すいません

回答No.2

nich

t^2+1≧√t^2＝±t　→　t^2+1≧２√t^2＝±２t
に訂正。
スミマセン