-1=<x=<1,-1=<y=<1において、

質問

-1=<x=<1,-1=<y=<1において、
1-ax-by-axyの最小値が正になるような定数a,bの範囲を求めよ。

つぎのような考え方をとりましたが、よいでしょうか。
yを固定して、xの１次関数としてみると、-a(1+y)x+1-by
y=-1のとき、1+b>0,aは任意
y=-1でないとき、
(1)a>0のとき

(2)a=0のとき

(3)a<0のとき
に場合わけをして、(1)(2)(3)のそれぞれについて最小値をもとめ、これらをyの１次関数とみて
また同様に最小値をもとめる。場合分けが多いので、別の方法があるのかとおもいました。
よろしくおねがいします。

回答No.3

momordica · ベストアンサー

＃２です。
ありゃ、分かりにくかったですか？

f(x, y)=1-ax-by-axy
と書かせてもらいますね。

a, bがどんな値であっても、f(-1,-1), f(-1,1), f(1,-1), f(1, 1)のうちのどれかが、f(x, y)の
-1≦x≦1, -1≦y≦1における最小値になるというのはOKですか？
つまり、この４つのうち一番小さいもの(１つとは限らない)が全体の最小値なわけです。

４つのうちどれが最小になるかはa, bの値によって変わります。
そういう場合、一つの考え方は、４つのうちどれが最小になるかをaとbの条件によって場合分けして、
それぞれの場合において、その最小となる１つが正になる条件を調べていくというものです。

しかし、考えてみれば、「f(-1,-1), f(-1,1), f(1,-1), f(1, 1)のうち、最小のものが正」というのは
「f(-1,-1), f(-1,1), f(1,-1), f(1, 1)がすべて正」というのと同値です。
したがって、別に場合分けなどせず、とにかく４つとも調べてみて、４つとも正になる条件を
考えても構わないわけです。
ということで、

　f(-1,-1)=b+1>0
　f(-1, 1)=2a-b+1>0
　f( 1,-1)=b+1>0
　f( 1, 1)=-2a-b+1>0

をすべて満たす(a, b)の範囲が答になります。

説明内容が前とあんまり変わってないかも…(汗)

お礼

回答ありがとうございます
納得です。汗をかかせてすみませんでした。

回答No.2

momordica

場合分けはいらないでしょう。

1-ax-by-axyは、yを固定すればxの一次関数（もしくはただの定数）。
よってa,bの値にかかわらず、-1≦x≦1なら、x=-1またはx=1で最小値をとります。

よってx=-1または1の場合のみを考えればいいので、逆にxをその値に固定して考えると、
こんどはyの一次関数ですから、-1≦y≦1ならy=-1または1で最小値をとります。

したがって、a,b,c,dがいかなる値であろうとも、1-ax-by-axyが最小になるのは、
(x,y)=(-1,-1).,(-1,1),(1,-1),(1,1)のいずれかの場合です。
よって、それら4点ですべて、1-ax-by-axy>0であれば、最小値は正であると言えます。

お礼

回答ありがとうございます
一次関数だから区間の端の点を考えればよいというのは、なるほどと思いました。
ただ、４点すべてで、1-ax-by-axy>0となるところがちょっと理解できませんでした。

回答No.1

mister_moonlight

場合わけは避けられないだろうが。

x＋1＝m、y＋1＝nとすると、0≦m≦2、0≦n≦2となる。
Ｆ＝1-ax-by-axy＝-amn+(a-b)n＋(b＋1)　であるから、先ずmの(一次)関数と見た方が良いだろう。
(1)a≧0の時、Ｆ≧-(a+b)n+(b＋1)となるから
　a+b≧0の時　最小値＝1-2a-b＞0
　a+b≦0の時　最小値＝b＋1＞0

(2)a≦0の時、Ｆ≧(a-b)n+(b＋1)となるから
　a-b≧0の時　最小値＝b＋1＞0
　a-b≦0の時　最小値＝2a-b+1＞0

とした方が、楽に場合わけができる。

お礼

回答ありがとうございます
見やすいし、すっきりした場合わけだと思いました。
x＋1＝m、y＋1＝nと置き換えるのは、おもいつかない
ところですが・・・