2変数関数について

質問

xy平面内の領域-1≦x≦1、-1≦y≦1において、1-ax-by-axyの最小値が正となるような定数a、bを座標とする点(a、b)の範囲を図示するという問題なのですが、解説お願いします…

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

f(x,y) = 1 - ax - by - axy として、
これを、yを定数とした、xの関数g(x)と見ると、
f(x,y) = g(x) = (1-by) - a(1+y)x なので、g(x)は、xの１次関数、

-1≦x≦1での最小値・g(x)min = g(1) または g(-1)なので、
g(1) = (1-by) - a(1+y) = (1-a) - (a+b)y＞0、かつ
g(-1) = (1-by) + a(1+y) = (1+a) + (a-b)y＞0、

g(1),g(-1)はそれぞれyの１次関数なので、h1(y),h2(y)とすると、
-1≦y≦1での最小値は、h1(1)またはh1(-1)、h2(1)またはh2(-1)なので、
h1(1) = (1-a) - (a+b) = 1 - 2a - b＞0、かつ、
h1(-1) = (1-a) + (a+b) = 1 + b＞0、かつ、
h2(1) = (1+a) + (a-b) = 1 + 2a - b＞0、かつ、
h2(-1) = (1+a) - (a-b) = 1 + b＞0、

したがって、条件を満たす(a,b)の範囲は、
b＜1-2a, b＜1+2a, b＞-1 を同時に満たす範囲

１次関数の最大・最小は、区間の両端のどちらかになる、ということと、
それらを場合分けして考えるよりも、両方とも正になる、と考えた方が、
面倒くさくなくていい、ということがポイントかと思います。

お礼

ありがとうございます！
ただ、
＞b＜1-2a, b＜1+2a, b＞-1 を同時に満たす範囲
というのを図示するのはどうやるのですか？aの範囲が明確に示されていないので分からないです…