三角比について

質問

12の問題の解き方を教えてください！

回答No.3

deshabari-haijo

先ず、タイトルが「三角比について」となっていますが、なぜこの問題を三角比で解くということが分かったのでしょうか。
それはさて置き、直角三角形を含む全ての三角形において、3つの角（実質的には2つの角）の大きさが決まれば、3辺の長さの比が決まります。
その中でも、特に直角三角形に限定したのが三角比の考え方です。
しかし、直角三角形であっても、例えば直角以外の2つの角の大きさが20°と70°である場合等には、3辺の長さの比は決まっても、それを簡単に求めることができません。
ただし、参考URLの《問題1》にある黄色い2種類のタイプの直角三角形（これらは2種類の三角定規と相似）については、3辺の長さの比が簡単に分かります。
左側にあるタイプのものを直角三角形(a)とすると、これは正三角形の半分であるから、60°を挟む2辺のうちの長辺（斜辺）の長さを2とすると短辺の長さは1となるので、残りの1辺の長さは三平方の定理から√(2^2-1^2)=√3になります。
また、右側にあるタイプのものを直角三角形(b)とすると、これは正方形の半分であるから直角二等辺三角形になり、直角を挟む2辺の長さを1ずつとすると、残りの1辺（斜辺）の長さは三平方の定理から√(1^2+1^2)=√2になります。
直角三角形(a)と直角三角形(b)それぞれの3辺の長さの比については、三平方の定理を用いるまでもなく、既知であるとして支障ありません。
よって、問題の図の中に、いかにして直角三角形(a)または直角三角形(b)を見付ける（作る）かということが肝要になります。

さらに、問題を解く前に、与えられた条件から明らかになる他の角の大きさ等を記しておくことが鉄則です。
∠ADC=∠ABC=30°（弧ACに対する円周角）
∠ABD=∠ACD=90°（直径ADに対する円周角）
よって、△ACDは直角三角形(a)になります。

以上の内容を踏まえ、問題を解きます。

(1)
△ABCの辺BC上にBP=√3となる点Pを取ると、△ABPは直角三角形(a)になるので、AP=１
△ACPにおいて、
CP=BC-BP=(√3+1)- √3=1
∠APC=180°-∠APB=180°-90°=90°
よって、△ACPは直角三角形(b)になるので、AC=√2

(2)
∠ACB=∠ACP
△ACPは直角三角形(b)であるから、∠ACP=45°
よって、∠ACB=45°

(3)
△ACDは直角三角形(a)であるから、直径AD=AC×2=2√2

(4)
∠ADB=∠ACB=45°（弧ABに対する円周角）
∠BDC=∠ADB+∠ADC=45°+30°=75°

(5)
△ABDは直角三角形であり、(4)から∠ADB=45°
よって、△ABDはBD=AB=2の直角三角形(b)になり、
この面積は、AB×BD×1/2=2×2×1/2=2
また、△ACDは直角三角形(a)であるから、CD=AC×√3=√2×√3=√6
よって、この面積は、AC×CD×1/2=√2×√6×1/2=√3
以上から、求める面積は、2+√3

※
三角比を十分に理解するためにも、参考URLを活用してください。

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/sct000.htm

回答No.2

178-tall

参考 URL
　　↓　外接円の半径の求め方
などの「ストーリー」でも御一読されたし。

(1) ⊿ABC にて、点 A から 辺 BC へ下ろした垂線の足を E とすると、題意より、
　AH = AB*sin(30 deg) = 2*(1/2) = 1
　BH = √3
　HC = BC-BH = 1
らしいから、
　AC = √(1+1) = √(2)

(2) 前項から明らかに、
　∠ACB = arctan(AH/HC) = arctan(1) = 45 (deg)

(3)～(5) は、参考 URL などをなぞって勘定してみて…。

参考URL：

https://juken-mikata.net/how-to/mathematics/circumscribed-circle-radius.html

回答No.1

info33

12
(1) 余弦定理より
AC= √(AB^2+BC^2-2AB*BCcosB)=√(2^2+(√3+1)^2-2*2*(√3+1)√3/2)
=√(4+4+2√3-2(3+√3))
=√2 ... (Ans.)
(2) 余弦定理より
cos∠ACB=(AC^2+BC^2-AB^2)/(2AC*BC)
=(2+(√3+1)^2-2^2)/(2*√2(√3+1))
=(2+2√3)/(2*√2(√3+1))
=1/√2
∠ACB=45° ... (Ans.)
(3)
∠AOC=2∠ABC=60°
AO=CO=AC=√2
AD=2AO=2√2 ...(Ans.)
(4)
∠BDC=∠ABC+∠ACBC=30°+45°=75° ... (Ans.)
(5)
>四角形ABCDの面積
四角形ABDCの面積の間違いかと思いますね

四角形ABDCの面積=△ABD+△ACD
=AB*BD/2+AC*CD/2
=2*2/2+√2*√6/2
=2+√3 ... (Ans.)