3乗根の問題

質問

(10+6sqrt(3))^(1/3)を簡単にしないさい、という問題で、
　　　(10+6sqrt(3))^(1/3)＝a+b・sqrt(３）　・・・(1)
とおいて両辺を3乗する、という解答が載っていました。a=b=1
(1)とおけるのはなぜでしょうか？

回答No.2

staratras · ベストアンサー

(a+b√3)^3=(a^3+9ab^2)+(3a^2b+3b^3)√3　なので、
Ａ＋Ｂ√３（ただしＡ、Ｂは有理数(この問題では整数））という形の数が与えられたとき
Ａ=(a^3+9ab^2) かつ　Ｂ=(3a^2b+3b^3)　なるような有理数a,bを求めることができれば、
（Ａ＋Ｂ√３)^(1/3)=a+b√3 となります。これがa+b√3とおいた理由です。

別の解法もあります。
x=(10+6√3)^(1/3)
y=(10-6√3)^(1/3) とおきます。

x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=20 …（１）
xy={(10+6√3)(10-6√3)}^(1/3)=(-8)^(1/3)=-2
（１）へ代入すると
(x+y)^3+6(x+y)-20=0
{(x+y)-2}{(x+y)^2+2(x+y)+10}=0
x+yは実数だからx+y=2、これとxy=-2より
x,yはt^2-2t-2=0の解であり、x>0、y<0　だから
x=1+√3　答え(10+6√3)^(1/3)=1+√3

お礼

＞(a+b√3)^3=(a^3+9ab^2)+(3a^2b+3b^3)√3　なので、
Ａ＋Ｂ√３（ただしＡ、Ｂは有理数(この問題では整数））という形の数が与えられたとき
Ａ=(a^3+9ab^2) かつ　Ｂ=(3a^2b+3b^3)　なるような有理数a,bを求めることができれば、
（Ａ＋Ｂ√３)^(1/3)=a+b√3 となります。これがa+b√3とおいた理由です。

なるほど納得しました。

回答No.3

staratras

No.2です。a,bの連立方程式は因数分解で比較的容易に解けます。

a^3+9ab^2=10 …（１）
3b^3+3a^2b=6　…（２）

（１）－（２）×5/3
a^3+9ab^2-3a^2b-3b^3=0
(a-b)^3-2a^2b+6ab^2-4b^3=0
(a-b)^3-2b(a-b)(a-2b)=0
(a-b){(a^2+ab+b^2-2b(a-2b)}=0
(a-b)(a^2-ab+5b^2)=0
(a-b){(a-(1/2)b)^2+(19/4)b^2}=0
∴a-b=0 a=b
(1)に代入して10a^3=10
a^3=1 aは実数（有理数）だからa=1,b=1

回答No.1

178-tall

>(10+6sqrt(3))^(1/3)を簡単にしないさい、という問題で、
>　　　(10+6sqrt(3))^(1/3)＝a+b・sqrt(３）　・・・(1)
>とおいて両辺を3乗する、という解答が載っていました。

確かに (1) を 3乗して解けそう。
右辺を 3乗した
　(a+b√3)^3 = a(a^2+3b^2) + 6ab^2 + { 2a^2b+b(a^2+3b^2) }√3
を左辺の 3乗
　10+6√3
に等置して、
　a(a^2+9b^2) = 10　　…(1)
　3b(a^2+b^2) = 6　　…(2)
の連立解を求めればよい。

>a=b=1 (1)とおけるのはなぜでしょうか？

これが難関…。
確かに (1), (2) にて a=b=1 をいれてみれば、それでチョン、です。

それに思いいたらねば、まともに解くしか無い。(途中を割愛。Polynmial Root Finder に解かせてみると…。
64x^7+160x^5-640x^4+3016x^3-1600x^2-1000=0
　　　　　↓
Root Iter. REAL IMAG
1: 0 - 2.152947788009712e-001 + i5.630581671240600e-001
2: 7 - 2.152947788009712e-001 - i5.630581671240600e-001
3: 0 + 1.000000000000001e+000
4: 0 + 1.500000000000000e+000 - i1.658312395177700e+000
5: 8 + 1.500000000000000e+000 + i1.658312395177700e+000
6: 0 - 1.784705221199029e+000 + i2.326905685409043e+000
7: 8 - 1.784705221199029e+000 - i2.326905685409043e+000

あ、そうなんだ…という次第でした。

お礼

回答有難うございました。