２乗しても同値性が崩れないときと崩れるとき

質問

２乗しても同値性が崩れないときともう一つの解が割り込んできて同値性が崩れるときはそれぞれどのような場合なのでしょうか。よく方程式の両辺を２乗してルートをはずしたり、代入しやすくしたりすると思うのですが、問題をやっていて「ここで２乗してもいいのかな？」といつも迷ってしまいます。このようにならないためにはどのようなことに気をつければよいのでしょうか。

例）；２乗してもいいとき

X=-1/2(α+β){[(α+β)^2]-1}・・・(1)
Y=3/4[(α+β)^2]+3/4・・・(2)

ここでXとYの関係式を作るために(2)を(α+β)^2=・・・の形にして置いて・・・(2)”、(1)の両辺を２乗して(α+β)^2を作り出しておいてから(2)”を(1)に代入するというものです。

回答No.8

KaitoTVGAMEKOZOU · ベストアンサー

ＯＫじゃ！ｘ実数⇒ｔ実数はよいが、その逆、ｔが実数→ｘ実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは！

ｘ実数⇔ｔ実数かつ（ｔは正または０）　　
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでＯＫ！

＜まとめ＞
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
１．分母を払うとき
２．等式、不等式の両辺を平方するとき
３．２つの等式、不等式を加減するとき
４．式の一部を他の文字で置き換えるとき

s-wordさんの謎もこれで解決したはず。２乗（平方）したら、同値関係は崩れると思ったほうが良い。代入（加減）も同じ。（もちろん、崩れない場合もある）解決法は、平方の場合は、最初の条件にもどって検討する。代入（加減）の場合は、代入した式に戻って検討する。

ちなみに、７の問題は大変な良問で、いろいろな解法が出来ます。私はパラメ－タａを分離して、解決しました。これは、受験数学のテクニックのひとつで、ａとｘが伴って変わらくて、しかもａとｘを分離することが容易な場合に威力を発揮します。また、ｘについての二次方程式でもあるので、判別式を利用して解くことも出来るし、さらにｓ－ｗｏｒｄさんの解で、特殊な絶対不等式を使うことも出来る。この絶対不等式は、私は気づきませんでした。問題の型を見た瞬間に、パラメタ分離→微分して調べるという構図が浮かんでしまったからです。某料理会の○皇様が、料理は工夫しすぎるということはない。さらなる工夫をもって精進せいよなどどと言っていたのを思い出しました。まったく数学は奥が深いのう。

お礼

お返事どうもありがとうございます。何度もお返事いただいてどうもありがとうございました！大変参考になりました。これからもこのスレッドを参照して勉強していこうと思います。さようなら。

回答No.7

KaitoTVGAMEKOZOU

stomachmanさん、おひさしぶりです。

７．３ｘ^4＋ａｘ^2＋１２＝０　　…（１）の根がすべて実数であるようにａの値の範囲を求めよ。

＜私がよくやる解＞
ｘ＝０は、（１）式の解ではない。そこで、（１）式を０＜ｘ^2で割ると、
３ｘ^4＋ａｘ^2＋１２＝０
⇔３ｘ^2＋ａ＋１２／ｘ^2＝０
⇔３ｘ^2＋１２／ｘ^2＝－ａ
⇔－３ｘ^2－１２／ｘ^2＝ａ　　　…（２）

よって、左辺＝g(ｘ)　とすると、問題は、曲線ｙ＝g(ｘ)とｙ軸に平行な直線ｙ＝ａが交点をもつように、ａの値の範囲を求めよと言い換えられる。つまり、文字定数分離のやり方だ。

この解法は視覚的に、図形を書いて求められるので楽だ。ちなみに、答えはａ≦－１２である。
しかーし！この解法は数(3)入ってるので、文系には駄目だ。そこで、本題に入ります。

３ｘ^4＋ａｘ^2＋１２＝０ …（１）
ｘ^2＝ｔとおくと、
３ｔ^2＋ａｔ＋１２＝０ …（２）
ｘ実数⇒ｔ実数だから、
判別式Ｄ≧０
⇔ａ^2－１２４≧０
⇔（ａ＋１２）（ａ－１２）≧０
⇔ａ≦－１２，１２≦ａ

ありゃ？答えが数(3)のと同じにならない！何故でしょう。わかったらお礼に書いてくれ。続きはそれから。ちなみに、この項目で、同値のまとめをやります。もちろん、s-wordさんの、本来の質問の答えも、ここに含まれるでしょう。あと、９つではなく、７つですみました。
ひょっとすると、stomachmanさんのとかぶるかも…。

お礼

KaitoTVGAMEKOZOUさんお久しぶりです。またきてくださってどうもありがとうございます。ゆっくり確認しながら進めてくださるので苦手な私にとってはすごくわかりやすくて助かります！じゃあさっそく考えた答えを書いてみます。

なぜ違うか、それはｘ^2＝ｔとおくとのところでtの範囲を無視しているからであーる。x^2＞0なのでｔ≧０なのであーる。
よって求める解は３ｔ^2＋ａｔ＋１２＝０ がｔ≧０の範囲で実数解をもつことといいかえられるのであーる。（乗ってきたので最後まで書いちゃいますね。）

ここでグラフから求めることもできるけど解と係数の方が早いのでそちらにします。

判別式Ｄ≧０
⇔ａ^2－１２４≧０
⇔（ａ＋１２）（ａ－１２）≧０
⇔ａ≦－１２，１２≦ａ・・・(1)

(２）の実数解をα,βとおくと条件から
α+β=- a/3
αβ=4
これが両方０または正になればいいから、
- a/3≧０
⇔a≦０・・・(2)
もとめる範囲は(1)かつ(2)よりａ≦－１２

それと、＜私がよくやる解＞ をみてすごいと思いました。そんなやり方もあるんですね、始めてみました！ちなみにおわかりだと思いますが文系でも相加相乗を使えばその方法でも答えを出せますね。視覚的に図形を書いて求められる長所が消えてしまうから仰らなかったんだと思いますが。

回答No.6

stomachman

「２乗してもいいとき」って、何が「いい」のかがはっきりしていないんじゃありませんでしょうか。KaitoTVGAMEKOZOUさんは一般論を詳しくやって下さってるみたいなので、stomachmanは、挙げていらっしゃる例が果たして「いい」のかどうかを検討してみましょう。

めんどくさいから
c=(α+β)
と書くことにしましょう。
X=-(1/2)c{c^2-1}・・・(1)
Y=3/4[c^2]+3/4・・・(2)
でまず、
(4/3)Y-1=c^2・・・(2)'
これは(2)と全く同じ意味です。一方、
X^2=(1/4)(c^2)({c^2-1}^2)・・・(1)'
はどうか。(1)が成り立つなら(1)'も確かに成り立ちます。が、(1)'が成り立つからと言って(1)は言えません。実際
X=(1/2)c{c^2-1}・・・(1)*
であっても(1)'は成り立ちますから、(1)'からは「(1)または(1)*である」としか言えない。（こんなことはお分かりですよね、きっと。）

で、(2)'を(1)'に代入したら
X^2=(1/4)(4/3)Y-1)({4/3)Y-1-1}^2)・・・(3)
これはどういうことを意味しているか。「(1)と(2)が共に成り立つのなら(3)も成り立つ」と言っているんです。しかし(1)*と(2)が共に成り立つのであっても(3)は成り立ちます。
　言い換えれば、(3)と(2)から(1)を導くことはできません。(3)と(2)からは「(1)または(1)*」という答しか出ない。それでもともかく「(1)と(2)が共に成り立つのなら(3)も成り立つ」んですから、(3)は誤りではありません。確かにXとYが満たす関係を示してはいる。が、(1)と(2)を並べた表現よりも情報が失われています。はじめ「(1)と(2)である」と言えた物が、(3)の形では「(1)または(1)*、それと(2)である」としか言えなくなっちゃったからです。従って、初めと同じことを言いたければ、(3)だけでは不足で、「(3)と(1)が共に成り立つ」と言わなくちゃいけません。(3)と(1)が共に成り立つのなら、間違いなく(1)と(2)が共に成り立つ事が言えて、(1)*は成り立たない。

　この事情をもっと詳しくチェックしてみましょう。まず(1)のことは忘れて、たとえばXをYで表そうとして(3)の両辺の平方根を取ると
X=±√[(1/4)(4/3)Y-1)({4/3)Y-1-1}^2)]・・・(4)
ってことになります。±ってのは、Xが一通りには決まらないということに他なりません。
じゃあ(4)は何を言っているのか。それを調べるために(4)に再び(2)'を代入してみましょう。
X=±(1/2)√[(c^2){c^2-1}^2]
=±(1/2) |c(c^2-1)|・・・(5)
となります。(5)は複号をばらしてみると
X = (1/2) |c(c^2-1)|・・・(5.1)　または
X = -(1/2) |c(c^2-1)|・・・(5.2)
という意味です。
・c≦-1 または 0≦c≦1 ならばc(c^2-1)≦0 であり、(5.1)は(1)と同じ、(5.2)は(1)*と同じ。
・-1≦c≦0 または 1≦c ならばc(c^2-1)≧0 であり、(5.1)は(1)*と同じ、(5.2)は(1)と同じ。

　本来の(1)とウソの(1)*とがややこしく混ざってしまっていますね。ま、そういうわけでして、結局
> 例）；２乗してもいいとき
というのは、(3)式までで話をおしまいにしたからに過ぎません。

お礼

stomachmanさんこんにちは。お返事感謝します。ゆっくりと論を進めてくださるのでうんうんとうなずきながら読むことができました。

＞従って、初めと同じことを言いたければ、(3)だけでは不足で、「(3)と(1)が共に成り立つ」と言わなくちゃいけません。(3)と(1)が共に成り立つのなら、間違いなく(1)と(2)が共に成り立つ事が言えて、(1)*は成り立たない。

もしcが正の場合は、Xは負だから(3)の横に(x<0)と書けば良いんですよね。でもこの場合はcがそういった指定がないから(5)において(1)のXとおなじになるように帳尻をあわせて動けるということですよね。とんだ勘違だったらどうしよう・・・。どうもありがとうございました。

回答No.5

KaitoTVGAMEKOZOU

５の追加
等式の両辺に、文字式を掛ける場合、
一般に、Ａ＝Ｂ⇒ｍＡ＝ｍＢ　だが、逆は必ずしも成り立たない。つまり、ｍＡ＝ｍＢ⇒／Ａ＝Ｂ　である。

同値を保つには、ｍ≠０で、修正し、
Ａ＝Ｂ⇒ｍＡ＝ｍＢ⇔ｍＡ＝ｍＢ　かつ　ｍ≠０

６．ｘ^2＋２ｘ＋ｍ＝０　…(1)　と　ｘ^2＋４ｘ＋３ｍ＝０　…(2)　との共通根を求めよ。

共通根は２式を同時に満足するｘの値である。だから、これをαとすると、
α^2＋２α＋ｍ＝０　　　　(1)’
α^2＋４α＋３ｍ＝０　　　(2)’
(1)'－(2)’より、
α＝－ｍ　　　　

上記の、この解法をした人は間違います。というのは、たとえば、共通根を持たない２つの方程式、
ｘ^2＋ｘ＋１＝０　，ｘ^2－ｘ－６＝０　　に、共通根をもたせてしまうからです。じゃあどうしたらよいか。

Ａ＝０かつＢ＝０　⇒　Ａ－Ｂ＝０　　は正しい。しかし、逆は成り立ちません。
このように、一般に２つの等式(1)、(2)を加えたり、引いたりして得られた(3)の式は、(1)、(2)と同値ではなくなるから、共通根を求めるに当たって(3)を論じては駄目です。
では、どうすればよいか。
Ａ＝０かつＢ＝０　⇔　Ａ－Ｂ＝０　かつ　Ａ＝０　とすればよいね。

よって、２つの方程式を加減するとき、一般に、
Ａ＝０かつＢ＝０⇒Ａ＋Ｂ＝０　は成り立つ。しかし、逆の　Ａ＋Ｂ＝０⇒／Ａ＝０かつＢ＝０　　は成り立たない。
しかし、Ａ＝０かつＢ＝０⇔Ａ＋Ｂ＝０かつＡ＝０　とすれば成り立つ。例題の解はまかせます。

きょうは、ちょっと疲れているし、他にもやることがあるので、残りの３つの解説はやらないかも知れません。よって、消さないでね。

回答No.4

KaitoTVGAMEKOZOU

２．同値を保つ方法
(1)⇒(2)、(2)⇒／(1)　の変形では結果(2)をはじめの条件(1)に戻って吟味する。
(1)を満たすものはとり、満たさないものは捨てる。NO1の方も同じこといってます。

３．次の方程式を解け　ｘ＋１＝√(２５－ｘ^2)
多くの参考書では、(1)＝(2)⇒(1)^2＝(2)^2 しかし、逆は必ずしも成り立たないので、２の同値を保つ方法と同じように、最初の条件にもどって吟味すると書いてあるが、私はいきなりグラフを書いて求めます。

＜解＞
ｙ＝√(２５－ｘ^2)のグラフは、半径５の円の上側であり、ｙ＝ｘ＋１のグラフと、「明らかに」０＜ｘ＜５の範囲の中のどこか一点のみで交わる。
よって、０＜ｘより、両辺を二乗しても同値関係は保たれるので、
(ｘ＋１)^2＝(２５－ｘ^2)
⇔２ｘ^2＋２ｘ－２４＝０
⇔ｘ^2＋ｘ－１２＝０
⇔(ｘ＋４)(ｘ－３)＝０
⇔ｘ＝－４，３
この2つの根の中で０＜ｘ＜５を満たすのはｘ＝３なので、答えは３である。

この解法の方が後戻りしなくていいし、視覚的なので楽です。

４．対数方程式は、真数＞０の条件を頭に叩き込みましょう。それだけです。

５．同値が崩れる原因を探れ
１で分数方程式をやりましたが、同値を保たせる方法があります。それは、条件をつけて足せばよい。

{(１／(ｘ－１)}－{２／(ｘ＋１)(ｘ－１)}＝１／３　
⇔３(ｘ＋１)－６＝(ｘ＋１)(ｘ－１)　かつ「ｘ≠－１，ｘ≠１」

つまり、 「ｘ≠－１，ｘ≠１」の条件がないから、同値関係が崩れる。だったらその条件をつけてやれば、同値関係は保たれるではないかということです。

あとは、夜にやろう。

回答No.3

KaitoTVGAMEKOZOU

１．どこで同値が崩れるか？
分数「方程式」　{(１／(ｘ－１)}－{２／(ｘ＋１)(ｘ－１)}＝１／３　…(1)を解け！
(1)に３(ｘ＋１)(ｘ－１)をかけると、
３(ｘ＋１)－６＝(ｘ＋１)(ｘ－１)　…(2)
整理して、
ｘ^2－３ｘ－２＝０
(ｘ－１)(ｘ－２)＝０　…(3)
∴ｘ－２＝０　またはｘ－１＝０　…(4)
ｘ＝２または１　…(5)

さて、同値関係がどうなっているか調べてみましょう。
(1)⇒(2)は成り立つ。しかし、(2)⇒(1)は成り立つかはわからない。というのは、(ｘ＋１)(ｘ－１)≠０が保障されていないから、(2)⇒／(1)となる。（注；～が成り立たないという記号がないため、⇒／とした。）さらに、(2)⇔(3)⇔(4)⇔(5)は良い。
だから、ｘ＝２のみが、この問題の根である。

つまり、上の変形では分母を払う変形のとき、同値関係が崩れるので、
「まとめ　分数・無理・対数方程式などで、　
　(1)⇒(2)、(2)⇒／(1)で計算出来れば、余計な根が入ってくる
　(1)⇔(2)　　　　　で計算できれば、余計な根は入らない　」

これで、全体の９分の１の内容は終わった。これから昼食なので、後で残りの８／９やりましょう。

回答No.2

KaitoTVGAMEKOZOU

同値の基本を解説しますが、かなり長くなるのでまだ消さないで下さい。

お礼

KaitoTVGAMEKOZOUさんこんにちは。９もパターンがあるんですね。今までまったく気にしないでいましたので、全然知りませんでした。興味深いお話の連続です。このスレッドはずっと置いておきますね。お暇なときに続けていただければ幸いです。

回答No.1

tnt

二乗する時、両辺を確認して、どちらか片方でいいですから
取りうる数値の範囲を確認して下さい。

これが正と負の両方になるようならダメ、常に正ならｏｋです。

ただし、工学系の計算では、とりあえず解を求めてしまってから
ありえない数値を解として採用しないという方法をとります。

複素関数でいちいち解の取りうる範囲なんか検証していられないので。

お礼

tntさんこんにちは。お返事どうもありがとうございます。ちょっと疑問に思ったところがあるのでもう一度お聞きしてもよろしいでしょうか。

＞二乗する時、両辺を確認して、どちらか片方でいいですから 取りうる数値の範囲を確認して下さい。
これが正と負の両方になるようならダメ、常に正ならｏｋです。

２乗するときに「正と負の両方になるようならダメ」となっていますがなぜだめなのか分かりません。逆に２乗すると正と負の両方の解をもつように変身してしまうから「正か負の一方のみの場合はダメで正と負の両方になるようならOK」だと思ったのですが・・・。どこが間違っているのでしょうか。よろしくお願いします。