高校数Aの証明問題なのですが。

質問

a+b+c=0を満たす実数a,b,cについて(lal+lbl+lcl)二乗≧2(a二乗+b二乗+c二乗)
の証明方法を教えていただけないでしょうか。

問題集を解いていて途中で行き詰ってしまったのですが、
証明問題に関しては解答が載っていないので参照できず困っています。
教えて頂けると嬉しいです。

また、他の問題についても、確実に自分の解答が正解なのか不安になります。
証明問題で、正解の確認方法というものはないでしょうか;

回答No.2

postro · ベストアンサー

左辺-右辺=(lal+lbl+lcl)^2-2(a^2+b^2+c^2)
=2(lallbl+lbllcl+lcllal)-(a^2+b^2+c^2)
=2(lallbl+lbllcl+lcllal)+2(ab+bc+ca) (∵（a+b+c）^2=(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)=0 より
　 -(a^2+b^2+c^2)=2(ab+bc+ca) )
=2(lallbl+ab+lbllcl+bc+lcllal+ca)≧0 (∵lallbl+ab≧0 lbllcl+bc≧0 lcllal+ca≧0 )
等号成立は0≧ab かつ 0≧bc かつ 0≧ca　すなわちa,b,cのうち少なくとも一つが０のとき）
↑等号成立条件いいのかな？自信なし

お礼

質問には書いてないですが、等号成立条件も必要です。
ありがとうございます。とても助かりました。

二乗は^2と書くべきだったんですね。他の質問を見て
もしかしたらと思ったんですが自信がなかったので;
見づらい式になっていてすみません。
分かりやすい解答ありがとうございました。

回答No.5

k_train_9999

証明に関しては他の方がお答えになっているので、正解についてですが、もし高校生なら学校の数学の教員に解答を作成してみてもらうのがいいと思います。
　塾や予備校に通っている場合も同様にしてみてもらうのがいいと思います。
　独学の場合はちょっと難しいですね。

お礼

回答ありがとうございます。
やはり人に聞くしかないですか・・・
今年からZ会を始めたのですが、
Z会の教材に関する質問しか出来ないみたいなので；
自分での正誤確認は出来ないんですね。すみません。
ありがとうございました。

回答No.4

futty-100

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0
a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca)…(1)

左辺-右辺=(|a|+|b|+|c|)^2-2(a^2+b^2+c^2)
=a^2+b^2+c^2+2(|ab|+|bc|+|ca|)-2(a^2+b^2+c^2)
=2(|ab|+|bc|+|ca|)-(a^2+b^2+c^2)
(1)を代入
=2(|ab|+|bc|+|ca|)+2(ab+bc+ca)
=2(|ab|+ab+|bc|+bc+|ca|+ca)

|ab|+ab≧0 |bc|+bc≧0 |ca|+ca≧0

よって
2(|ab|+ab+|bc|+bc+|ca|+ca)≧0

証明終了

お礼

解答ありがとうございます。
簡潔にまとめてあって見やすく、整理しやすかったです。
a=で代入してみたり、どこから攻めたらいいのか
考えあぐねていたのに、立て続けに3人もの方に
答えを頂いて、とても助かったのですが、頭が固いのかと少し複雑になりました。
futty-100さんのようにすぐに証明方法を思いつかれて、
すごいなと思う反面自分の学力が不安です;
助かりました。ありがとうございます。

回答No.3

denbee

すいません。
#1の回答をしたものですが、途中間違ってました。
(3)の等号が逆なため
>=2(|a||b|+|b||c|+|a||c|) + 2(ab+bc+ac)
>式前半は絶対値同士の積の和であるから0以上。式後半は(3)より同様に0以上であるから
は誤りです。

実際は、上記の式は
2{(|a||b| + ab ) + (|b||c| + bc) + (|a||c| + ac)}となります。
ある２つの値の絶対値同士の積 >= ある２つの値の積
ですから、
2{(|a||b| + ab ) + (|b||c| + bc) + (|a||c| + ac)} >= 0となります。

お礼

わざわざ訂正して頂きありがとうございます。
No.1の解答とあわせて編集しプリントアウトして
参考にさせて頂きました。

細かいとこまで1つ1つ丁寧に説明してあってとても分かりやすかったです。
本当にありがとうございました。

回答No.1

denbee

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=0 ---(1)
(1)より
a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ac)
よって
2(a^2+b^2+c^2)=a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ac) ---(2)

また、a^2,b^2,c^2はいずれも0以上になるため、
2(ab+bc+ac)>=0 ---　(3)

一方
(|a|+|b|+|c|)^2=|a|^2+|b|^2+|c|^2+2(|a||b|+|b||c|+|a||c|) ---(4)

ここで
|a|^2=a^2
|b|^2=b^2
|c|^2=c^2

よって
(|a|+|b|+|c|)^2-2(a^2+b^2+c^2)
は(4)式-(2)式より
2(|a||b|+|b||c|+|a||c|)-(-2(ab+bc+ac))
=2(|a||b|+|b||c|+|a||c|) + 2(ab+bc+ac)
式前半は絶対値同士の積の和であるから0以上。式後半は(3)より同様に0以上であるから
2(|a||b|+|b||c|+|a||c|) + 2(ab+bc+ac) >= 0
が成立する。

故に(|a|+|b|+|c|)^2>=2(a^2+b^2+c^2)