ｎ乗根とｎ乗の同値性

質問

（問題）
a,bを正の定数として、曲線C：3^√（ｘ/a）(三乗根aぶんのｘ）＋３＾√（ｙ/ｂ）（三乗根ｂ分のｙ）＝１(1)を考える。
曲線Cとｘ軸、y軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
（疑問）
問題の解答は画像の通りなのですが、ｙ/ｂ＝｛１－3^√（ｘ/a）｝＾３として、それについてｘ軸ｙ軸との交点を調べて、最後に、ｂ｛１－3^√（ｘ/a）｝＾３を積分していますが、そもそも最初の(1)と同値かどうかの確認もしていません。
たとえば、ｘ＾２＋ｙ＾２＝a（aは正の定数）ならば、
ｙ≧０のとき、ｙ＝√(a-x^2)、y≦０のとき、ｙ＝ー√(a-x^2)ですが、画像の解答では、無条件に両辺を３乗するということが行われていると思えてなりません。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

y=x^2 のグラフをかけば
一つのy(>0)に対して，二つのxが出てくるのはわかるでしょう
つまり
y=x と y^2=x^2 は同値ではない

一方，
y=x^3の場合は
任意の実数yに対して，y=x^3を満たすxが必ず一つ決まる．
つまり
y=x と y^3=x^3 は同値

これは一般にそれぞれ「偶数乗」「奇数乗」でも同じ

だから，実数だけを考える場合は
奇数乗して計算しても余計な値が入り込まないってこと
「奇数分の1乗」でも同じこと
＃y=x^3とy^x^{1/3}のグラフを書いてみるというのは
＃yとxがきっちり「1対1」なのが見てわかるでしょうとうこと

二乗（偶数乗）のときにはなぜ同値性を考える必要があるのかを
理解しましょう

お礼

結論的にはｙ/ｂ＝｛１－3^√（ｘ/a）｝＾３⇒∛(x/a)+∛(y/b)=1が成り立つからｙ/ｂ＝｛１－3^√（ｘ/a）｝＾３⇔∛(x/a)+∛(y/b)=1が成り立つ。ということでしょうか?

補足

二乗（偶数乗）のときにはなぜ同値性を考える必要があるのかを
理解しましょう
＞これまでも何度も２乗の同値性の議論については悩み質問してきたのですが、それでもだめなのかもしれません。
別の質問をするので、お答えいただけないでしょうか?

回答No.1

spring135

奇数乗、奇数乗根は符号も保存します。y=x^3, y=x^(1/3)のグラフを書いて考えてください。

お礼

ｙ＝ｘ＾３ではｘ＝２のとき、ｙ＝８ですが、ｙ＝ｘ＾（１/３）ではｘ＝２のとき、ｙ＝２＾（１/3)
で、ｙ＝ｘ＾３ならばｙ＝ｘ＾(1/3)は成り立ちません。
こういうことを言っているのではないのでしょうか?（何を確かめるために２つのグラフを描くのでしょうか?）