定積分の問題

質問

受験生です。偶関数、奇関数の性質を利用したりして式変形やってみてもなかなか答えが出ないので、質問させていただきます。
ヒントでも構いませんのでよろしくお願いします。

「以下の２つの条件を満たすとき、f(x)を求めよ。
ただし、f(x)は２次関数、g(x)は１次関数とする。
　・∫ from 0 to 1, f(x)g(x) dx =0
　・∫ from -1 to 1, f(x) dx =1
」
任意のg(x)となれば分かるのですが、どう考えたらよいのでしょうか？

回答No.1

inara1 · ベストアンサー

正攻法でやればいいと思いますが。

【ヒント】
　　f(x) = a*x^2 + b*x + c 　( a ≠ 0 )
　　g(x) = d*x + e 　　　　　( d ≠ 0 )
とおいて、どのような d, e に対しても
　　・∫ from 0 to 1, f(x)g(x) dx = 0 --- (1)
　　・∫ from -1 to 1, f(x) dx = 1　　--- (2)
となるように定数 a, b, c を求めればいいのです。
式(1) を計算して、その結果を d を含む項と e を含む項に分ければ
　　　Ａ*d + B*c = 0
となります（Ａ も Ｂ も a, b, c を含む式）。これがどんな d, e に対してもこれが成り立つには
　　　A = 0, B = 0 --- (3)
でなければなりません。
一方、式(2) から
　　　a/3 + c = 1/2 --- (4)
なので、式(3)と(4)を連立方程式とみなせば、a, b, c が求まります。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。やはりどんなd,eに対しても成り立つようにすることが必要なのですね。ありがとうございました。

回答No.2

kumipapa

＞　任意のg(x)となれば分かるのですが、・・・
の意味は、任意の１次関数 g(x) で条件を満たすように f(x) を定めるのならば、例えば #1 さんが示されたような方法で解けるのですが、という事ですね。

確かにその通りで、「任意の１次関数 g(x) に対して条件を満たす」のでなければ、f(x) は一意には定まりません。g(x)としてどのような１次関数を持ってきても、その g(x) に対して与えられた条件を満たす f(x) は無数にあります。
やはり、任意の g(x) に対して条件を満たす f(x) を求めろということではないでしょうか。

お礼

任意のg(x)の部分の説明がとてもわかりやすく、もやもやしていたものがすっきりしました！ありがとうございました。