証明

質問

（１）関数ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）が点ｘ＝ａにおいて連続であり、ｆ（ａ）≠ｇ（ａ）の時、あるδ＞0が存在し、ａ-δ＜ｘ＜ａ+δをみたすｘに対し、ｆ（ｘ）≠ｇ（ｘ）となることを示せ。
（２）ｆ（ｘ）がｘ＝ａで連続でないならば、一般に（１）の結論は成り立たないことを反例をあげて示せ。

回答No.8

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

連続関数の差が連続であることを用いない書き方。

a の任意のδ近傍（ただし、x ≠ a）で、f(x) = g(x) となる x が存在すると仮定する。
ここで、δ1 > δ2 > δ3 > .... > 0 となるような列を作り、それに対する、f(x) = g(x) となる x の列、x1, x2, x3, .... ≠ a をとることができる。
f(x) は、x = a で連続なので、f(x1) = g(x1), f(x2) = g(x2), f(x3) = g(x3) , ... は、コーシー列である（極限の定義から）
すなわち、f(x1), f(x2), f(x3) ... と g(x1), g(x2), g(x3) ... は、同一の値に収束する。
すなわち、f(a) = g(a) （連続性の定義から）
これは、f(a) ≠ g(a) に矛盾する。

回答No.7

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

趣向を変えて、こういう証明はいかがでしょうか。

f(x), g(x) はともに、x = a で連続なので、f(x) - g(x) は x = a で連続であり、 x = a において、極限値を持つ（連続関数の定義から）
ここで、任意のδ>0に対して、a - δ < x < a + δ （ただし、 x ≠ a）で、f(x) - g(x) = 0 となる x が存在すると仮定すると、この極限値は0である。
（∵極限値 c ≠ 0 の存在を仮定すると、任意のδ近傍に 0 が存在することから、ε<c とできず、矛盾）
これは、f(a) ≠ g(a) に矛盾する。（連続性の定義から）
故に、a の あるδ近傍には、f(x) = g(x) となる x は存在しない。

回答No.6

151A48

たびたびすみません。うっかりしていました。
g(x)=3 (x=1のとき)　に訂正してください。2以外ならなんでもいいのですが。

回答No.5

151A48

お尋ねがあったので。

|f(x)-f(a)|<εとは　-ε<f(x)-f(a)<εのことです。各辺にf(a)を足して（移項）f(a)-ε<f(x)<f(a)+εです。
同様に　g(a)-ε<g(x)<g(a)+ε　ですが，各辺に-1を掛けて-g(a)-ε<-g(x)<-g(a)+εとしています。大小関係が逆転することに注意。

参考までに（２）の例をあげておくと，いかにもそのために作ったという感じですが・・・

f(x)=x+1

g(x)=(x^2-1)/(x-1) (x≠１のとき）：ｘ＝１で定義されていない。他ではx+1
g(x)=2 (x=1のとき) ：このように定義する。

x=1で穴があいて２に飛んでいるグラフです。

補足

たびたびすいません。
（１）の最後の一行のところなんですが、
f(a)-g(a)<2εだから、 2ε－２ε＜f(x)-g(x) ∴0<f(x)-g(x)　　になることの解説お願いしたいです。

回答No.4

151A48

もうテストも終わっていると思うので，clumsyな証明ですが・・・
f(a)≠g(a)なのでf(a)>g(a)としておきましょう。(f(a)-g(a))/2>ε>0なるεがとれる。
f(x),g(x)は連続なので，先のεに対してあるδが定まって
|x-a|<δのとき　|f(x)-f(a)|<ε，|g(x)-g(a)|<ε
f(a)-ε<f(x)<f(a)+ε，-g(a)-ε<-g(x)<-g(a)＋ε
左の不等式だけ辺々足して　f(a)-g(a)-2ε<f(x)-g(x)
f(a)-g(a)<2εだったので 2ε－２ε＜f(x)-g(x) ∴0<f(x)-g(x)　　つまり　f(x)≠g(x)
証明の品質は保証しません。参考にしてください。

補足

ありがとうございます。
|f(x)-f(a)|<ε，|g(x)-g(a)|<εこれが、以下のようになるのがなぜなのかわからないので教えてください。
f(a)-ε<f(x)<f(a)+ε，-g(a)-ε<-g(x)<-g(a)＋ε

回答No.3

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

(1) 連続関数の差が連続関数になることを使えば、連続関数の定義そのもので証明完了。
(2) x = a だけで、f(x) ≠ g(x) となる関数を挙げれば完了。

回答No.2

entap

もしかして試験中に打ち込んだとか、カンニングですか?　時期ですし…

回答No.1

Tacosan

で質問は? まさか「証明してほしい」などとは言わないよね?