lim(極限)と∑(和)の可換性について。

質問

limと∑が交換できるのはどのような場合でしょうか？(1)

下記のページも読んだのですが、よく分かりませんでした。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10183378495
特にこのページの最後の回答
『f_n(x)はn≦x<n+1のとき1、他は0をとる関数としましょう。
f_n(x)→0(x→∞)だから右辺は0、しかし
x≧0ならΣfn(x)=1だから左辺は1です。』
の『Σfn(x)=1』の部分も分かりません。(2)

証明などが載っている分かりやすいウェブページの紹介でも結構です。(3)

(1), (2), (3)のいずれか一つでも良いので、どなたか分かる方がいましたら
教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.1

muturajcp

lim_{x→∞}Σ_{n=1～∞}f_n(x)?=?Σ_{n=1～∞}lim_{x→∞}f_n(x)
(2)

f_n(x)はn≦x<n+1のとき1,他は0
f_n(x)→0(x→∞)だから右辺は0,しかし

どんなに大きなx>0に対しても
xの整数部を
int(x)=n
とすると
n≦x<n+1
となるから
f_n(x)=1
となる
整数nがあるから
Σ_{n=1～∞}f_n(x)=1

(1)
limとΣが交換できる場合は

F_n(x)=Σ_{k=1～n}f_k(x)
が
一様収束する場合です
一様収束とは
あるaに対して
任意のε>0に対して,
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる
任意の自然数nと
任意のxに対して
|F_n(x)-a|<ε
となる場合です