フーリエ変換の理論について

質問

物理化学の理論展開で　f(x,y)=...特殊関数で滑らか...　というような風に式が展開され、その後で"ここでy方向にフーリエ変換すると..."という流れになります。フーリエ変換は厳密には適用可能性のチェックが入るものだと思います（２乗可積分とか..）。しかし、その理論展開はそのようなものはなく、いきなり、”フーリエ変換を適用する”と進みます。いいのかな？という思いはありますが、理論展開というものは”その理論の前提に従うものであれば”という言葉が常に接頭語にあるものなのかなとも思います。あるいは”理論にのらないものはあるにはあるけど、ほぼそういうことはありません”ということを言っているのかなと思います。フーリエ変換は不連続に近い急激な変動があっても問題ないということのようですし。
この辺の考え方はどのようなものでしょうか。具体的な式の展開を示すことができないので大雑把な質問なのですが、いかがでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

ddtddtddt

量子効果を無視すればですが（普通は無視できる）、実現象は必ず微分可能なのがわかっています。その根拠は各種の保存則です。微分可能ならば連続です。そして連続関数に対するフーリエ変換は必ず可能なのが、数学的に保証されています。

　もちろん微分不可能だったり不連続として扱う問題もありますが、それは究極的には、人間が手を加えたために起こった人為的な疑似微分不可能だったり疑似不連続性と思って良いと考えられます。もちろんそういう場合フーリエ変換は、それらに対処しなければならない訳ですが、人間のやる事なので、不連続点（当然微分不可能点）は有限個しかありません。区分的に連続な関数に対してフーリエ変換は、不連続点の前後で、ジャンプする関数値の√2倍の値に収束する事も知られています。ギブス現象と言います。

　そういう訳で、区分的に連続な関数に対するフーリエ変換の挙動は予想できる訳です。後は各自で計算結果を、「適宜取捨選択してね」という事になります(^^)。

お礼

回答ありがとうございます。ここで”フーリエ変換する”という言葉は学術論文に出てくる展開で、その論文はどちらかという理論展開を売っているようなところがあり、”それはいいんですかね？”と聞きたくなるところですが、相手が地球科学的なものなので量子的な極微の世界というわけでもなく、こだわる必要はほぼないんだろなと思いました。