フーリエ変換--フーリエ変換分光法の原理の証明

質問

画像の2段目の式(B(t)のフーリエ変換)はどのようになるのでしょうか。
A(オメガ)となってほしいのですが, どのように計算すればよいでしょうか。

ちなみにこの式はフーリエ変換分光法において, 「得られたインターフェログラムをフーリエ変換することで, 試料のスペクトルとなる」ということを証明するための式です.
数式中のB(t)をインターフェログラム, A(オメガ)を光源のパワースペクトルと考えています.

----------画像中の数式について---------------
1段目の積分記号の右にあるRのような文字は複素数の実部を示す記号です. iは虚数, tは時刻, ωは角周波数を示しています.
なお, A(オメガ)は実数関数とします.

以上よろしくお願いいたします.

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

ご質問の B(t) の式
　　B(t) = ∫[-∞ to ∞]Re[A(ω)exp(iωt)ｄω]
が意味不明なので、
　　B(t) = ∫[-∞ to ∞]Re[A(ω)exp(iωt)]ｄω
と解することにします。

A(ω) が ( -∞, ∞ ) で積分可能であり、かつ、 A(ω) のフーリエ変換も ( -∞, ∞ ) で積分可能なら、

[1]　　∫[-∞ to ∞]B(t)exp(-iωt)dt = π(A(ω)+A(-ω))　　（a.e.）

です（ a.e. は、ほとんど至るところのωで等式が成立することを示す）。
とくに、もし、 A(ω) が、「連続な偶関数（A(ω)=A(-ω) ）」という条件も満たすなら、

[2]　　∫[-∞ to ∞]B(t)exp(-iωt)dt = 2πA(ω)

です。
[1]は、次の定理から導けます。

[3]　　フーリエ逆変換の定理（or 反転公式）

「 f(x) を (-∞, ∞) で積分可能な実数値関数とし、 F(ν) をそのフーリエ変換とする：
　　F(ν) = ∫[-∞ to ∞]f(x)exp(-2πiνx)dx
もし、 F(ν) が ( -∞, ∞ ) で積分可能なら、ほとんど至るところの x で次の等式が成立する。
　　f(x) = ∫[-∞ to ∞]F(ν)exp(2πiνx)dν 　」

なお、フーリエ変換について、工学系や物理系の人と数学系の人では、若干異なった定義を使っています（係数2πを乗ずるかどうかの違い）。ここでは、数学系の定義に従って記述します。どっちの定義を使っても、今回の計算結果は変わりません。

以下が、[1] の導出過程です。

******************

（ 関数G(t) ）

次の関数 G(t) を使う。 A(ω) が ( -∞, ∞ ) で積分可能との仮定があるので、 G(t) は、-∞ < t < ∞で定義された関数として確定する。

　　G(t) = ∫[-∞ to ∞]A(ω)exp(-iωt)dω

A(ω) が実数値だから、

[4]　　conj(G(t)) = G(-t)

である（ conj は複素共役を表す）。
また。 s = t/(2π) とすれば、

　　G(2πs) = ∫[-∞ to ∞]A(ω)exp(-2πiωs)dω

だから、 G(2πs) は、 A(ω) のフーリエ変換である。よって、 [3] により、次が成立する。

　　A(ω) = ∫[-∞ to ∞]G(2πs)exp(2πiωs)ds　　（a.e.）

さらに積分変数を s から t に置換して、次を得る。

[5]　　2πA(ω) = ∫[-∞ to ∞]G(t)exp(iωt)dt　　（a.e.）

ωの代わりに -ωを代入して、次を得る。

[6]　　2πA(-ω) = ∫[-∞ to ∞]G(t)exp(-iωt)dt　　（a.e.）

また、 [5] の両辺の複素共役をとれば、 [4] を考慮し、次を得る。

[7]　　2πA(ω) = ∫[-∞ to ∞]G(-t)exp(-iωt)dt　　（a.e.）

（ B(t)exp(-iωt) の積分）

Re[A(ω)exp(iωt)] = (1/2)(A(ω)exp(iωt) + conj(A(ω)exp(iωt))) = (1/2)(A(ω)exp(iωt) + A(ω)exp(-iωt)) である。よって、次を得る。

　　B(t) = ∫[-∞ to ∞]Re[A(ω)exp(iωt)]ｄω
　　　　 = (1/2)∫[-∞ to ∞](A(ω)exp(iωt) + A(ω)exp(-iωt))ｄω
　　　　 = (1/2)(G(-t) + G(t))

よって、次のようになる。

　　∫[-∞ to ∞]B(t)exp(-iωt)dt
　　= (1/2)∫[-∞ to ∞](G(-t) + G(t))exp(-iωt)dt
　　= (1/2)∫[-∞ to ∞](G(-t)exp(-iωt) + G(t)exp(-iωt))dt
　　= (1/2)(2πA(ω) + 2πA(-ω))　　（a.e.）　（ [6] と [7] より）
　　= π(A(ω) + A(-ω))

お礼

おぉ！すごい！

素晴らしいご回答ありがとうございました.
G(t)を定義し, そして[4]式からの利用が思いつきませんでした.

ご丁寧に解説をして頂きありがとうございました!