フーリエ変換すると次元が変わる

質問

http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-1-1CRkato.htm

ここのページの式2-1-7に書かれてあるように
RCの直列回路に流れる電流は時間の指数関数で表されます。
http://okawa-denshi.jp/techdoc/images/equ2-1-7.gif

一方で、この式をフーリエ変換して電流の周波数特性を求めたいと考えています。

http://www.crl.nitech.ac.jp/~ida/education/etc/FT/FT.pdf
ここのページの5ページ目に指数関数のフーリエ変換の公式が書かれているのですが、

t < 0 において電流がゼロだとしてフーリエ変換をかけると

i(ω) = (V/R)(1/ω_c)/(1-iω/ω_c)
になります。
ここでω_c = 1/RC を表します。

式2-1-7の電流の次元は[A]なのに対して、
フーリエ変換後の電流の次元は[A sec]となってしまいます。

これはフーリエ変換において時間で積分しており、(1/ω_c)という係数がついているためです。

[A]の次元での周波数特性の式を求めたいのですが、
どうすれば良いでしょうか？

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

http://www.ic.is.tohoku.ac.jp/~swk/lecture/yaruodsp/ft.html
↑の4.2節末尾に、そのことが書いてある。

要するに、単位換算する係数を掛ければいいだけの話なので、
あまり気にしないほうがいい。
フーリエ変換の公式の積分記号の前に、係数 1 [sec^-1] が
掛かっていると見てもよい。

回答No.3

178-tall

訂正と補足の二本足ですが…。

>　(VC)*(1/CR)*e^(-t/CR) → VC/(1-2πikCR)　　：ω = 2πk　なのでは？(分母の中は負号？)
>これはインパルス入力時の場合。
>元となった i がステップ入力時なので、分子に jω を掛け、　V(iCω)/(1-iωCR)

このコメント、逆でした。
　V(iCω)/(1-iωCR)　が、インパルス入力時の i の周波数特性。
　(電圧*アドミタンス)
　VC/(1-iωCR)　が、ステップ入力時の i の周波数特性。
　(電圧*アドミタンス*時間 ？)

回答No.1

178-tall

i = (V/R)*e^(-t/CR) = (VC)*(1/CR)*e^(-t/CR) に「打切り型指数関数」の変換、ならば、
　(VC)*(1/CR)*e^(-t/CR) → VC/(1-2πikCR)　　：ω = 2πk
なのでは？(分母の中は負号？)

これはインパルス入力時の場合。
元となった i がステップ入力時なので、分子に jω を掛け、
　V(iCω)/(1-iωCR)
とすれば、(分母の中の負号は怪しげながら) ラプラス変換の結果と一致。

>フーリエ変換をかけると　i(ω) = (V/R)(1/ω_c)/(1-iω/ω_c)　になります。

と若干違いますけど、ディメンジョン・トラブルは無さそうですが。