フィボナッチ数列の一般項と差分法

質問

フィボナッチ数列の一般項をf(x)とおくと、f(x+2)=f(x+1)+f(x) f(1)=f(2)=1である。
さて一般に、未知の関数f(x)に関するf(x+2)+Af(x+1)+Bf(x)=0を線形2階同次差分方程式という。Δ^2f(x)=Δ{f(x+1)-f(x)}=f(x+2)-2f(x+1)+f(x)であるから、原式は、
Δ^2f(x)+kΔf(x)+Lf(x)=0の形にかけ、線形２階同次というのである。この方程式は
線形２階微分方程式と同様の手法で解ける。
いま、２次方程式λ^2+Aλ+B=0の２根をα,βとすると
(1)α=βのとき　A=-2α,B=α^2 よって原式はf(x+2)-2αf(x+1)+α^2f(x)=0となる。
これをα^(x+2)でわって、1/(a^x)f(x)=g(x)とおくと、g(x+2)-2g(x+1)+g(x)=0を得る。
すなわち、Δ^2g(x)=0 よってg(x)=c1x+c2,f(x)=a^x(c1x+c2)となる。
(2)α≠βのとき　α^(x+2)+Aα^(x+1)+Bα^x=0よってα^xは原式の解となる。β^xも同様である。
ところで、線形２階差分方程式の一般解は１次独立な2つの解の１次結合で表されるから(微分方程式の場合と同様),f(x)=c1α^x+c2β^xとなる。フィボナッチの場合は、λ^2-λ-1=0よりα=(1+√5)/2 β=(1-√5)/2を得るから、一般解はf(x)=c1{(1+√5)/2}^x+c2{(1-√5)/2}^xとなる。 ここでf(1)=f(2)=1よりc1=-c2=1/√5を得るのである。

以上の解説で、フィボナッチ数列の一般項は、f(x+2)=f(x+1)+f(x)であるから、λ^2-λ-1=0を満たすλで等比数列を作る、のは高校生で習うような解き方だと思うのですが、この解説では、２次方程式λ^2+Aλ+B=0の２つの解をα,βとして場合わけして解いています。最初にλ^2+Aλ+B=0を使い、λ^2-λ-1=0を使わない理由を教えてください。また、
(2)α≠βのときα^(x+2)+Aα^(x+1)+Bα^x=0となっているのがわかりません。自分はα^2+Aα+B=0なら納得できるのですが、どなたか解説が正しいことを説明してください。
y”=0 ⇔ y’=C1 ⇔ y=C1x+C2 や　(C1α^x+C2β^x)”+a(C1α^x+C2β^x)’+(C1α^x+C2β^x)
=C1(α^x”+aα^x’+bα^x)+C2(β^x”+aβ^x’+bβ^x)=0などは納得できました。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

α^2+Aα+B=0
両辺にα^xをかけると
(α^x)α^2+Aα(α^x)+Bα^x=0
α^(x+2)+Aα^(x+1)+Bα^x=0

λ^2+Aλ+B=0を使い、
λ^2-λ-1=0を使わない理由は
一般化のため

お礼

お返事ありがとうございます。