文字式を各項にとる数列の一般項

質問

初めまして、暇つぶしに数学の考えごとをしていると、分からないことがありましたので、質問させていただきます。数（？）列についてなのですが、知識は高校数学程度しかなく、しかも数列の分野はかなり忘れ気味です。高校数学に毛の生えた程度の内容ではとても説明できないという場合、高度な解説をしていただいても馬の耳に念仏ということになってしまいますので、その場合はあまり詳しく説明していただかなくても結構です。

　{A(n)}＝n^x

　という文字の入った数列を考えます。この第1階、第2階、第3階……の階差数列を考えてゆきます。階差数列をダッシュをつけて表現しますと、具体的には、

　{A'(n)}＝A(n+1) - A(n)＝(n+1)^x - n^x
　{A''(n)}＝(n+2)^x - 2(n+1)^x + n^x
　{A'''(n)}＝(n+3)^x - 3(n+2)^x + 3(n+1)^x - n^x
　……

　ということになります。この一般の場合を考えたいのです。考え方として、{A(n)}、{A'(n)}、{A''(n)}、……の一般項を順番にならべた数列{B(m)}を考えて、その一般項を求めたいのだ、ということにもなります。

　{B(1)}＝n^x
　{B(2)}＝(n+1)^x - n^x
　{B(3)}＝(n+2)^x - 2(n+1)^x + n^x
　……
　{B(m)}＝？？？

　ということです。まあ、式の形からいって、一般項はきっと

　{B(m)}＝Σ[k=1,m] {(-1)^(k+1)} * [m！/{k！(m-k)！}] * {(n+k-1)^x}

　という形になるんだろうな、と想像はつきますが（m！/{k！(m-k)！} はパスカルの三角形の一般項）、どうしてそうなるのか分かりません。ご教示いただきたいです。
（あと、ついでの話になりますが、{B(m)}の第～階差数列を同様に考えて、同様に各一般項から数列{C(l)}とかも作れそうですね。その一般項を考えて……とやってると、終わりがなさそうです）

　高校数学で簡単にできることをド忘れしてやしないか、不安でヒヤヒヤしますが……。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

もう少し記号を整理すれば
分かりやすくなります．

A(n)=n^x
これを第0階差とみなし，D_0(n)=A(n)とおきます
第一階差 D_1(n) = A(n+1)-A(n)
第二階差 D_2(n) = D_1(n+1) - D_(n) = A(n+2) - 2A(n+1) - A(n)
・・・同様にしていくと
第k階差は
D_k(n) = X(k,0)A(n+k) - X(k,1)A(n+k-1) +・・・+(-1)^k X(k,k)A(n)
となり
これから第(k+1)階差は，記号では
D_{k+1}(n)
= X(k+1,0)A(n+k+1) - X(k+1,1)A(n+k)
+・・・+(-1)^{k+1} X(k+1,k+1)A(n)
と表せる一方，当然ながら
D_{k+1}(n)=D_k(n+1) - D_k(n)
なのだから
D_{k+1}の係数はX(k.i)でも表現できるわけで
係数比較をすれば
X(k+1,i)=X(k,i)+X(k,i-1)
という関係ができて，これはまさに
パスカルの三角形の定義式そのものです．
これがわかれば
更なる階差をとることも計算は煩雑になりますが
問題はないでしょう．

つまり，係数はA(n)の具体的な形にはまったく無関係です．
数列や関数に対して
こういう階差を考えるのは
一般には「差分」といわれており
いろいろな研究があったりします．
関数の微分の離散バージョンが差分であり
微分に積分が対応するように，差分にも「和分」というのが
あったりします．

お礼

どうもありがとうございます、よく分かりました。係数を X(a,b) と置いて係数比較するという手順は、なるほどと思いました。
　それにしても、

＞係数はA(n)の具体的な形にはまったく無関係です

　というのは驚きでした。そういう仕組みだったんですね。

＞関数の微分の離散バージョンが差分であり
＞微分に積分が対応するように，差分にも「和分」というのが
＞あったりします．

　確かに、階差数列を作りながら、関数の微分に似ているような気がしていたのです。一般的に、階差をとってやると次数も下がるようでしたし。「差分」というのですね。ひとつ言葉を知ることができました。

　詳しい解説、本当にありがとうございました。

回答No.1

chiezo2005

階差数列を作るということを演算子で考えると普通のかけ算の様になるので
わかりやすいと思います。

Pという演算子をA(n)に作用させるとA(n+1）に変わるものと定義します。

すると階差数列を作ると言うことは
（P-1）＊A(n）=P＊A(n)-A(n)=A(n+1)-A(n)
ということですよね。
N階の階差数列を作ると言うことは（P-1)をN階左から
作用させることに、つまり
(P-1)^N＊A(n)
ということになります。

演算子の部分は
(P-1)^N
になりますから、係数はパスカルの三角形に一致します。

お礼

なるほど、演算子を作って考えてやると、こんなにスッキリと見通しがよくなるのですね。面白いです！
　こういう発想は、いかにも数学的という感じで、自分でいくら考えても出てこなかっただろうと思います。ご丁寧な解説、どうもありがとうございました。