数列の一般項

質問

一般に、数列｛F_n｝がｋ項間の漸化式と、F_0、F_1、・・・、F_(k-1)　の初期値が与たとき、

　１、一般項は存在するのでしょうか（表現できなくても構いません）
　２、一般項は一つでしょうか

２は２つの一般項F_n、G_nが存在したとすると、F_k=G_k　が示せて、以下帰納的に一致するので、一つだと思いますが・・・。

１についてよろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

「一般項」とか「存在する」とかの意味にもよるが、
「表現できなくても構いません」という注釈からすると、
任意の n について F[n] が定義できるか？
ということを言っているんだろうから、
漸化式が多項式であれば、問題なく定義できる。
2. と同様に、帰納法で示せばよいと思う。
漸化式に特異点があると、常に代入できるのか
という問題が発生するけれども。

それとも、6項間以上になると、特性方程式に
解公式は無いが、代数学の基本定理は成立
してるから…という話をすればいいのかな？

お礼

早々の書き込みありがとうございます。

＞「一般項」とか「存在する」とかの意味にもよるが、
＞「表現できなくても構いません」という注釈からすると、
＞任意の n について F[n] が定義できるか？
＞ということを言っているんだろうから、

と、そうですよね。帰納的に数列は決まっていくわけで、あとはその数列をどうやってｎで表現するか、というわけで・・・。

高校で習った数列の一般項の求め方で、一意性とか存在は勉強した記憶はなく、もしかして２つ存在したらどうしよう、ということから出た質問でした。
今回もわかりやすくありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「k項間の漸化式」というとちょっと微妙な気もするけど,
F_(n+k) = f(F_n, F_(n+1), ..., F_(n+k-1))
という形である (あれ? これだと「k+1項」あるなぁ.... まあいいや) なら「f が計算できる」かどうかが全て.