円に外接する正ｎ角形の周囲の長さは円周よりも大か

質問

これは正しいのでしょうか。また証明はそれほど難しくないでしょうか。

回答No.7

tmpname · ベストアンサー

多分あなたの疑問に真面目に回答するには、そもそも「曲線の長さってどうやって定義されているの？」っていうのを言う必要があるんでしょうね... かなり長くなります。

で、曲線の長さの定義はこうなってます。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%A7%E9%95%B7#%E5%AE%9A%E7%BE%A9
... 難しいですね。で、言っている事はこういうことです。

今、求めたい曲線を「折れ線近似」します。ただし、曲線の始点と終点は必ず使うこととします。そうすると、作った近似折れ線に対しては、（各線分の長さを足せばよいので）折れ線の長さがでます。
で、（曲線の始点と終点を必ず使うという条件で）ありとあらゆる折れ線近似を考えます。そうすると、それぞれの近似折れ線に対して、その折れ線の長さがでるので、「折れ線の長さの集合」が出来ます。そこで、元の曲線から作った『どの』折れ線の長さも、『この値よりは大きくない』という値があったとき、「そのような値の中で最も小さいもの」を、その曲線の長さと定義します。したがって折れ線近似としては、できるだけ長くなるようなものを考えたのち、それでもなお「この値よりかは長くならない」というようなぎりぎりの値を探ることになります。

注意として、曲線をある折れ線近似をした時、曲線から新たに一点を選んでその点を含めて折れ線を作り直すと、前の折れ線よりも長さが短くなることはないことに注意してください（三角形の一辺は二辺の合計より必ず短い）。今、正ｎ角形が円に外接しているとします。円上の点を適当に選んで折れ線近似をした時、もし正ｎ角形と円との接点の中で、作った折れ線に含まれてないものがあれば、それら接点を入れて折れ線を作った方が折れ線が長くなるので、最初から円を折れ線近似する時は、正ｎ角形と円との接点を全ていれるものとします。

で、今円に外接する正ｎ角形を取った時（n≧4とします）、その隣合う2つの接点の間の弧の折れ線近似を考えます。今、その2つの接点と、その間のそれぞれの折れ点（折れ線近位に使った円弧上の点）に対し、その点を通り、2つの接点を通る2つの接線にそれぞれ平行な直線を引いて、方眼紙のようなマス目を作ります（ただし、そのマス目の大きさは均一でなく、マスの形も一般には平行四辺形になっています）。すると、さっきの折れ線は、一つの接点から始まって、マス目の対角線を次々と結んでいって、もう一個の接点までたどりつくような折れ線になっています。で、折れ線の長さは、通ったマス目の対角線の長さの和になっています。

ところで、マス目の対角線の長さは、そのマス目を対角線でなくてマス目を通って進んだ時の長さよりも短いです（三角形の一辺は二辺の合計より必ず短い）。従って、マス目の対角線を次々と結んで出来る折れ線の長さは、マス目を「ギザギザに」進んで一つの接点からもうひとつの接点まで進む長さよりも短いですが、...... その「ギザギザに」進んだ長さの合計は、ちょうど接する正n角形の、2つの接点に挟まれた部分の長さの和になることは分かりますか？

というわけで、円に外接する正ｎ角形を取った時、その隣合う2つの接点の間の弧の折れ線は、その2つの接点に挟まれた正n角形の部分の長さ以下になる。従って、円の折れ線近似全体の折れ線の長さは、外接する正ｎ角形の外周以下となり、定義によって円周は外接する正ｎ角形の外周以下となるのです。

分りにくければ、一旦外接する正方形で考えてみてください。1/4の円弧の上に2点くらい途中の点を選んで、その点と両端の点を通るような格子を書くと、様子がつかめると思います。折れ線はその格子を斜めに進むような形になっています。

お礼

すぐには完全に分からなくても、私の理解力でもついていけるように思えるご説明をいただきました。微分を接線で考える考え方にも共通するように思えて、勉強したい気持ちが募ってきました。

回答No.8

bgm38489

円に外接する正ｎ角形の周囲の長さは、nが大きくなればなるほど、小さくなり、円周に近くなる。考え方は、この方向だと思うけど。

お礼

実際に見ているとおっしゃるとおりですね。三角形の二辺の和は第三の辺より必ず大であるということですね。

回答No.6

noname#232123

単位円の外接する正ｎ角形の周囲の長さＬは、円形のケーキを等分するときのように、「一人分」について考えることにより、
L/n=2*tan(pi/n), (n=3, 4, 5, ...)
となります。ゆえに、L=2n*tan(pi/n).
です。
これから、
L/(単位円周長)=tan(x)/x, (x=pi/n)
tan(x)/x=1+(1/3)x^2+(2/15)x^4+....>1.
となっています。
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※ 実際には、n=100のときこの比は、
tan(pi/100)/(pi/100)=1.00329117..

お礼

円周の数値は既知のものと考えてよろしいのでしょうか。

回答No.5

178-tall

>それは円に内接する正多角形の場合ではないでしょうか。

失礼！

　円周 = 2πr
　外接正ｎ角形周 = 2nrtan(π/n)
らしいから、
　外接正ｎ角形周/円周 = { tan(π/n) }/(π/n)　　…(1)

(1) にて n≧3 なら、右辺＞0。n を増大させると単調減少して 1 に収束。
つまり、外接正ｎ角形周/円周＞1 、「円に外接する正ｎ角形の周囲の長さは円周」を超える。

お礼

円周が２πｒであるというのは与えられた前提としてよいわけですね。勉強させていただきます。

回答No.4

178-tall

正ｎ角形の隣り合う 2 つの頂点間の最短距離は、正ｎ角形の一辺の長さ。
ならば、隣接頂点の 1 ペアを通る円弧長＞一辺長、だろう。
つまり、正ｎ角形の周囲の長さ＜円周。

お礼

それは円に内接する正多角形の場合ではないでしょうか。

回答No.3

gongorogon

直径１mの円を、1辺1メートルの正方形で囲んでいるということでしょうか。
すると円周は1ｘ3.14159265363で約3.14ｍ。
正方形は1ｘ4で4ｍ。
正方形のほうが大ですね。多分。

お礼

遠州は２π×半径、を知っているから計算できますね。図形だけしか知らない場合はどうなのでしょうか。

回答No.2

skydaddy

>>これは正しいのでしょうか。

正しい

>>また証明はそれほど難しくないでしょうか。

以下、証明までの道筋です・・・
円は、正∞（無限）角形です。
また、外接する正ｎ角形の１辺の長さは、辺の各端点と円の中心を結んだ2等辺三角形の底辺の長さです。これが該当する扇形の弧より大きければ外接する正ｎ角形の辺の長さが円の外周より大きいと言えます。
半径をｒとすると
弧の長さ＝2πr／n
底辺の長さ＝tan（360／2n）× r × 2

正３角形の場合
弧の長さ＝2πr／3＝2.094r
底辺の長さ＝3.464r

正４角形の場合
弧の長さ＝2πr／4＝1.570r
底辺の長さ＝2r

このように段々差が小さくなり無限で同一になります。(nとn+1で弧と底辺がnよりn+1 の方が小さいことを示せばいい)
したがって外接する正ｎ角形の辺の和は、必ず内接する円の円周より大きいと言えます。

お礼

ご教示を参考にして勉強させていただきます。

回答No.1

SPS700

１。これは正しいのでしょうか。

　はい正しいと思います。

２。また証明はそれほど難しくないでしょうか。

　僕は中学以来数学はやってませんが、難しくないと思います。

お礼

そうですか。自分でできる限りやってみます。