正４面体の外接円について

質問

ある正４面体ABCDの外接球をかんがえます。「外接球の中心をOとすると、Aから底面BCDにおろした垂線の足をHとしたとき、

AB＝AC＝AD
　　　　かつ
OB=OC=OD
であることから対称性よりA,O,Hは同一直線上にある」

と書いてあるんですが、よくわかりません。

感覚的に一直線上にんる事はわかるんですが、ちゃんとした証明がほしいです。

よろしくおねがいします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

PB=PC=PD
を満たす点Pの軌跡を考えてみましょう。

まず、PB=PCを満たす点Pの集合を考えましょう。
これは線分BCの中点をとおり線分BCに垂直な面になります。
同様にPC=PDを満たす点Pの集合は線分CDの中点をとおり線分CDに垂直な面になります。

PB=PC=PDを満たす点Pは上記の二つの面の共通部分、つまり二つの面の交線になります。
このA,OはPの条件を満たす点である以上この線に含まれます。

次に、この交線と面BCDの関係を考えてみましょう。
線分BCの中点をとおり線分BCに垂直な面　は　面BCDに垂直です。
線分CDの中点をとおり線分CDに垂直な面　は　面BCDに垂直です。
この二つの面の交線は面BCDに垂直になります。

つまり、この線はA(O)から面BCDに降ろした垂線になるのです。よって、Hはこの線と面BCDの交点となります。

お礼

お礼が遅れてすみませんでした。

非常に分かりやすかったです！ありがとうございます！