一つの円に内接あるいは外接する正ｎ角形の周囲長は

質問

ｎが無限大になったとき同じ値になり、この値は円周の値でもあることを証明するヒントを教えていただけますか。単純に間に挟まっているからとは思えますが、証明する方法を納得できればと思っております。

回答No.4

178-tall · ベストアンサー

ANo.1 さんの証明の根拠となる「定理」の一例

　 LIM { sin(x)/x } = 1
　x→0
　　↓ sinx/xの極限が1になることの証明
　参考 URL

参考URL：

https://mathtrain.jp/sinc

お礼

これは有名な定理ですが私には理解することが難しいものです。ラジアンとも関係があるのでしょうか。

補足

参考ＵＲＬの図をみるとなるほどと思います。でもやはり難しい。

回答No.3

noname#231998

ANo.2の補足・訂正です。
ANo.2は無視してください。

簡単に正方形（正四角形）を考えると、内接の場合には4つの二等辺三角形に分割でき、長さが等しい2辺ではさむ角の大きさは360°/4であるから、内接正方形の1辺の長さは円の半径をrとすると、
r×sin(360°/4×1/2)×2= 2r×sin((180°/4)
これから、4辺の長さの合計（周囲長）は、
2r×sin(180°/4)×4=4×2r×sin(180°/4)－(1)
また、外接の場合には円の中心と辺との距離がrになるので、外接正方形の1辺の長さは円の半径をrとすると、
r×tan(360°/4×1/2)×2=2r×tan(180°/4)
これから、4辺の長さの合計（周囲長）は、
2r×tan(180°/4)×4=4×2r×tan(180°/4)－(2)

・正n角形の場合
内接の周囲長は、上の式(1)から
2nr×sin(180°/n)－(3)
外接の周囲長は、上の式(2)から
2nr×tan(180°/n)= 2nr×sin(180°/n)/cos(180°/n)－(4)
lim[n→∞]{(4)/(3)}= lim[n→∞]1/ cos(180°/n)=1
これは、「１つの円に内接あるいは外接する正n角形の周囲長は、nが無限大になったとき同じ値になる」ことを表しています。

また、円に内接する正n角形の隣り合う2つの頂点をAとBとすると、線分ABの長さ＜弧ABの長さです。（これは自明）
そして、nの増加に伴って線分ABの長さは短くなり、nが無限大になると、2つの頂点AとBは一致します。
これは、円に内接する正n角形の1辺の長さが、上の式(3)から2r×sin(180°/n)であり、
lim[n→∞]][2r×sin(180°/n)]=0になるということです。
つまり、円に内接する正n角形の周囲長の極限値は円周になります。
なお、角度をラジアンで表示することは、円周の値が２πrになることを前提としていますが、上の結果は円周の値が２πrになるかどうかには関係ありません。

以上から、「１つの円に内接あるいは外接する正n角形の周囲長は、nが無限大になったとき同じ値になり、この値は円周の値でもある」となります。

お礼

数学的に厳密ということがなかなかわからないのですが、ご教示をもとに自分なりに努力させていただきます。

回答No.2

noname#231998

簡単に正方形（正四角形）を考えると、内接の場合には4つの二等辺三角形に分割でき、長さが等しい2辺ではさむ角の大きさは360°/4であるから、内接正方形の1辺の長さは円の半径をrとすると、
r×sin(360°/4×1/2)×2= 2r×sin((360°/4)
これから、4辺の長さの合計（周囲長）は、
2r×sin(360°/4)×4=4×2r×sin(360°/4)－(1)
また、外接の場合には円の中心と辺との距離がrになるので、外接正方形の1辺の長さは円の半径をrとすると、
r×tan(360°/4×1/2)×2=2r×tan(360°/4)
これから、4辺の長さの合計（周囲長）は、
2r×tan(360°/4)×4=4×2r×tan(360°/4)－(2)

・正n角形の場合
内接は、上の式(1)から
2nr×sin(360°/n)－(3)
外接は、上の式(2)から
2nr×tan(360°/n)= 2nr×sin(360°/n)/cos(360°/n)－(4)
lim[n→∞]{(4)/(3)}= lim[n→∞]1/ cos(360°/n)=1

円周上に２点AとBをとると、線分AB＜弧ABであるから（これは自明）、円周の値が２πrになるかどうかに拘わらず、1つの円に内接あるいは外接する正n角形の周囲長はnが無限大になったとき同じ値になり、この値は円周の値にもなります。
因みに、角度をラジアンで表示することは、円周が２πrになることを前提としています。
後は、以前に質問された内容を参考にしてください。

参考URL：

https://soudan1.biglobe.ne.jp/qa9500426.html

お礼

以前の質問とも密接に関連していることはわかります。勉強したいです。

回答No.1

noname#232123

円形のケーキをｎ人で等分することを考えて、「一人分」の二等辺三角形について考えｎ倍します。
半径ｒの円に内接する正ｎ角形の周囲長L1は、
L1=2n*r*sin(pi/n),
外接の場合の周囲長L2は、
L2=2n*r*tan(pi/n).
となり書き直すと、
L1=2pi*r*{sin(pi/n)/(pi/n)},
L2=2pi*r*{tan(pi/n)/(pi/n)}. となります。
ここで、lim[n→∞]L1=lim[n→∞]L2=2pi*r.
です。

お礼

ご教示をもとに勉強させていただきます。