正ｎ角形を正(ｎ*2^m)角形にしていった極限の円の同一性

質問

初歩的な質問で恐縮です。ｎがどのような整数であるかにかかわらずｍを無限大にしたものは円になると思いますが、この円が同一であることを証明するにはどのような勉強をしたらよいでしょうか。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

数学的帰納法を使って以下のような手順で、証明すれば良いかと思います。

正n角形の外接円の半径Rは,
外接円の中心Oと正n角形の1つの頂点と結んだ線分の長さに等しいこと。
正2n角形は
正n角形の頂点間の円弧を2等分した点を頂点に加えて、2n個の頂点を結んで
構成できること。なので、追加された頂点と円の中心までの距離が正n角形の半径に等しいこと。

正n2^m角形についの外接円の半径が正n角形の半径Rに等しいと仮定し、
正n2^(m+1)角形について、頂点間を2等分した点を正n2^m角形の頂点に加えて正n2^(m+1)角形が構成でき、新たに追加された頂点と正n2^m角形の円の中心までの距離が、正n2^m角形の外接円の半径（正n角形の半径Rに等しい）に等しいことを示す。

お礼

数学的機能法を使う方法で勉強させていただきます。ご丁寧なご示唆いただきありがとうございます。

回答No.2

info22

#1です。

補足です。
お礼の所の「数学的機能法」では無くA#1に書いた「数学的帰納法」ですので間違えないようにして下さい。

質問には正n角形から正2n角形、正2n角形から正(2^2)n角形、...と頂点の数を2倍していく過程において、どんなルールで角形数N=(2^m)nを増やしていくかで極限円が変わっていきます。

A#1に書いたようにN=n(2^m)角形からmを増やしていくとき、増やした後の外接円の半径を、増やす前の半径と同じに保つように、円弧を1/2して頂点数を2倍に増やすルールを使っていけば、最初の外接円が極限円と一致します。
また、mを1増加する過程で正n角形の内接円の半径を同じに保ちながらmを増やしていくルールも可能で、この場合も正n2^m多角形の周長も内接円の演演習に収束して行きます。

しかし、正N角形の一辺の長さと外接円の中心を固定しながらmを1ずつ増やすようなルールでは極限としての円はどんどん拡大して行って同一性が保てなくなります。

このようなわけで、N=n*2^mのmを増やしていく場合のルールをはっきりきめてから、正しいと思える命題を作り、数学的帰納法を適用するようにします。正しくない命題は、どんな方法を使っても証明できません。

数学的帰納法による証明法は以下を参考にして下さい。
http://www.geocities.co.jp/Milano/1115/juken/kinouhou.html
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95

参考URL：

http://phaos.hp.infoseek.co.jp/preparations/induction.htm

お礼

ケアレスミスまでご𠮟正いただきありがとうございます。帰納法を間違えるようでは申し訳ございません。改めて勉強させていただきます。

補足

私が当初条件をきちんと想定できなかったこともどのように考えればよいか全くわからなかった理由の一つだと思いました。相当基本へ戻らないとだめだと思っております。お礼の中で全くわけのわからない字が出てしまいました。ご𠮟正と打ったつもりでした。ここでお詫び申し上げます。