指数の計算について

質問

ある資格試験の問題で、
6 ×(1-(1/2)^(1/10000))=4.2×10^-4
という問題を手計算で求めないといけないのですが、
6 ×(1-(1/2)^(1/10000))=はどのようにして4.2×10^-4に導くのでしょうか知恵をおかしください。

回答No.4

staratras

N0.2 & 3 です。No.3の回答の4行目に誤記がありました。自然対数を扱っているので、

(誤）lnX=-ln2/10000 だから　X≒10^(-ln2/10000)　ではなく、
(正）lnX=-ln2/10000 だから　X≒e^(-ln2/10000) です。失礼しました。

お詫びに、ln2　の値を直接求めてみます。完全な手計算でもln2の小数第3位までくらいの近似値は比較的容易に求められます。

収束が早い下の級数（１）でn=1として初めの3項だけを計算してみます。
ln(n+1)-ln(n)=
2{(1/(2n+1)+1/3(2n+1)^3+1/5(2n+1)^5+1/7(2n+1)^7+1/9(2n+1)^9…}　　…（１）
ln2-ln1=ln2≒2/3{1+1/27+1/405}
≒2/3(1+0.037037+0.002469)
≒(2/3)1.039506≒0.693

なお初めの5項まで計算すれば、
ln2≒2/3{1+1/27+1/405+1/5103+1/59049}
≒2/3(1+0.037037+0.002469+0.000196+0.00002)
≒(2/3)1.039719≒0.693146≒0.69315

（高木貞治先生の「解析概論」では（１）の式の13項までとれば、ln2=0.69314 71805 599 を得る。とありましたが、普通の関数電卓ではここまで詳しい数値は出ません。畏るべし級数（１）！）

回答No.3

staratras

No.2です。ln2の値（約0.6931または約0.7）を覚えていれば、
以下のように自然対数で計算した方が簡単です。

X^10000=1/2 の両辺の自然対数を取れば
lnX=-ln2/10000 だから　X≒10^(-ln2/10000)

f(x)=e^x のx=0付近をその接線で近似すれば、f'(x)=e^x で
f'(0)=1かつ f(0)=1より、接線の式は、y=x+1
x=-ln2/10000 を代入すれば　
y≒X≒0.99993069(ln2≒0.6931の場合）
またはy≒X≒0.99993(ln2≒0.7の場合）

したがって　6×(1-(1/2)^(1/10000))≒6×(1-0.9993)≒4.2×10^-4

回答No.2

staratras

要するに1/2の1万乗根の近似値を求めればよいことになります。以下の回答でlogは常用対数、lnは自然対数を表し、log2やln10などの基本的な数値は覚えているものとします。

X^10000=1/2 の両辺の常用対数を取れば
logX=-log2/10000 だから　X≒10^(-0.301/10000)

f(x)=10^x のx=0付近をその接線で近似すれば、f'(x)=ln10・10＾x で
f'(0)=ln10≒2.3かつ f(0)=1より、おおよその接線の式は、y=2.3x+1
x=-0.301/10000 を代入すれば　y≒X≒0.99993077

したがって　6×(1-(1/2)^(1/10000))≒6×(1-0.9993077)≒4.2×10^-4

回答No.1

f272

6*(1-(1/2)^(1/10000))
≒6*(-ln(1/2)/10000)
=6*ln(2)/10000
≒6*0.7/10000
=4.2*10^(-4)