同値変形について。
同値変形について質問です。
「焦点がF(3,0) F´(-3,0)で点A(-4,0)を通る楕円の方程式を求めよ。」
という問題なのですが、参考書の解答では
楕円上の任意の点をP(x,y)とし、
AF+AF´=8から、
√{(x-3)^2+y^2}+√{(x+3)^2+y^2}=8
両辺を２乗して整理すると、16√{(x+3)^2+y^2}=12x+64
両辺を4で割って、更に２乗すると
16(x^2+6x+9+y^2)=9x^2+96x+256
これを整理して、x^2/16 + y^2/7 = 1
という風に、答えを導いているのですが、
変形過程で２度「２乗」しています。
２乗すると同値ではなくなるというのは知っているのですが、
この場合は同値ではなくならないのでしょうか？
問題を解くときに、両辺を２乗していいときと悪いときがあるらしいのですが、それがよくわからなくて・・・。
また、どのようなときに、２乗しても同値性を失わないのでしょうか？
どのようなときに２乗すると同値ではなくなるのでしょうか？
あと、自分の知っている同値ではない変形は、「両辺を２乗する」ということのみなのですが、
他に気をつけたほうがいい、同値性を失ったりする変形には、どのようなものがあるのでしょうか？
今までここあたりをうやむやにして数学を解いていたため、たまに納得がいかなかったりします。。
どなたか教えてください＞＜
お礼
有難うございます！ 途中式が詳しくてわかりやすかったです。