式変形について

質問

x^2+5y^2+4xy-4x-14y+13=(x+2y-2)^2+(y-3)^2となるのは理解できるのですが、これを変形していくときどのように考えたらこんな変形が出来るのですか？いきなりこんなのを思いつけと言われても無理なので、どなたか教えてください。

回答No.2

kony0 · ベストアンサー

単に「xについて整理した」だけと思われます。
x^2+5y^2+4xy-4x-14y+13
=x^2 + (4y-4)x + (5y^2-14y+13)
={x+(2y-2)}^2 - (2y-2)^2 + (5y^2-14y+13)
=(x+2y-2)^2 + (y^2-6y+9)
=(x+2y-2)^2 + (y+3)^2

もし「yについて整理」すると
5y^2 + (4x-14)y + (x^2-4x+13)
=5{y + (2x-7)/5}^2 - (2x-7)^2/5 + (x^2-4x+13)
=(1/5) * {(5y+2x-7)^2 + (x^2+8x+16)}
=(1/5) * {(2x+5y-7)^2 + (x+4)^2}
という整理の仕方もあります。

回答No.3

noname#10311

数学あまり得意でないんですけど、大学受験の時、そういう問題を予備校で教わりました。わかり易かったので紹介します。

まず、2つ変数がある時は、ややこしくなるので、片方を定数とみなすとよいそうです。(“変数を固定する”という)
今回はｙを固定して、解いてみました。
x^2+5y^2+4xy-4x-14y+13
=x^2+(4y-4)x+5y^2-14y+13
={x^2+4(y-1)x}+5y^2-14y+13
={x+2(y-1)}^2-4(y-1)^2+5y^2-14y+13
=(x+2y-2)^2+y^2-6y+9
=(x+2y-2)^2+(y-3)^2

よければ、参考にしてください。

回答No.1

sunasearch

おそらく、式の値が常に０以上（非負）である事を証明する問題？かと思いますが、そのような時は、

似たような問題の解き方のパターンを知っておくことが大事です。

「２乗」の形は常に０以上ですから、何かの２乗、もしくは、２乗の足し算の形に持っていくことを考えます。

x^2の係数は１、y^2の係数は５ですから、整数の２乗がこれを超えない、１と２を使って
（ｘ＋２ｙ＋α）の２乗の形を考えます。

そして残りの１y^2を、（ｙ＋β）の２乗の形に持っていくことを考えると、αとβの値が求まると思います。