量子論理

質問

量子論理

量子論理(Wikipedia)からの引用です。
『古典論理と大きく異なるのは分配律、すなわち
p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
（p、q、r は命題を表す） が必ずしも成り立たない点である。例えば一直線上を動く粒子を考え、次のようにおく。
p = "粒子は右へ動いている"
q = "粒子は原点の左にある"
r = "粒子は原点の右にある"
すると命題"q ∨ r"は恒に真だから、p が真ならば
p ∧ (q ∨ r) = 真
一方、p が真ならば不確定性原理により位置と運動量は同時には確定できないから、2つの命題"p ∧ q"と"p ∧ r"はいずれも偽である。ゆえに
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) = 偽
となって、分配律は成り立たないことになる。』

この説明は間違っていると思うのですが、みなさんはどう思いますか？

ちなみに、この説明は参照文献、G. Birkhoff and J. von Neumann (1936), The Logic of Quantum Mechanicsのp831がもとになっているのかと思います。

回答No.3

sunabo

左側、原点、右側の3つに分けたってところが質問者様の疑問の
根拠になってます。
￢で書くと2つに分かれるのでまぁそんなもんかって感じる。粒
子は原点の左側にある。￢粒子は原点の左側にある。
￢粒子は原点の左側にあるってのは、もうちょっと詳しく書くと
、原点または原点の右側にあるってなります。
粒子は右へ動いているってところから、粒子は点の上のみに居る
ことは動いてるから、無いってことにすると、原点に粒子は居な
いって感じがするから間違ってない派です。

お礼

回答ありがとうございます。

q : 「原点の左側にある」
￢q : 「原点または原点の右側にある」
すると命題"q ∨ ￢q"は恒に真だから、p が真ならば
p ∧ (q ∨ ￢q) = 真

このように書いてあれば最初の疑問はいいとしますね(^_^)

回答No.2

Nouble

其れは、但の
現代科学の、理解上に
よる、限界だ、
と、思いますよ。

例えば、不確定性原理ですが

現代では、重力マイクロレンズ効果が
学会誌に、報告されています。

一例、
https://www.jstage.jst.go.jp/article/butsuri1946/47/5/47_5_361/_article/-char/ja/

ご存じかと、思いますが
例えば、
原子等の、ナイヨウは
凄まじく、スカスカです。

此の内に、例えば
引力的な、特異点等が
(※注：マイクロブラックホールには、言及しない)
現れれば、

想定外の、軌道を
示しても、
当然と、言うもの。

しかし、
此のサイト、限定ながら
重力マイクロレンズ効果に、付いては、

検索されれば、伺える
とは、思いますが、

否定的意見が、
大勢を、占めます。

学会誌が、排除しない
其れ所か、
多数、受け容れる
内容が、

「体勢では、否定されている」
そんな、有様が、
明確に、伺えます。

故に、
今後、不確定理論が
否定的に、成る事は、
不確定です。

事実、科学とは
そう言ったものですよね？

なので、此の様に
問題を、感じられても、

強ち、
間違いと、断定は
出来ないものと、思えます。

研究課題に、据えられても
良い
と、思いますよ？

お礼

回答ありがとうございます。分かりました、現代科学に限界があるのですね。

回答No.1

noname#230446

どこが間違っているのか書かないのでは、どう思うかは回答できません。

お礼

ありがとうございます。回答者のアカウント抹消してますね。お礼の欄に参考文献の前後の部分を挙げておきます。

p830
10. The distributive identity(分配恒等式)
Up to now , we have only discussed formal features of logical structure which seem to be classical dynamics and the quantum theory .(今までは論理構造の形式的機能しか議論していない(ので)その構造は古典力学と量子論(両者に適合するよう)に見える)
We now turn to the central difference between them (いま、それらの中心的な違いに目を向ける)— the distributive identity of the propositional calculus:(—命題計算の分配恒等式:)
L6 : a∪(b∩c)=(a∩b)∪(a∩c) and a∩(b∪c)=(a∪b)∩(a∪c)
which is a law classical, but not in quantum mechanics.(これは古典的法則だが、量子力学においてはそうではない)
From an axiomatic viewpoint, each half of L6 implies the other.(公理的観点から、L6の前式と後式とは互いに他方を含意する)
Further, either half of L6, taken with L72, implies L71 and L73, and to assume L6 and L72 amounts to assuming the usual definition of a Boolean algebra.(さらに、L6の前式も後式も、L72を伴って、L71とL73を含意する。そしてL6とL7を前提とすることが通常のブール代数の定義を前提とすることに等しくなる)
From a deeper mathematical viewpoint, L6 is the characteristic property of set- combination.(より深い数学的観点から、L6は集合の組み合わせの個性的な属性である)
More precisely, every “field” of sets is isomorphic with a Boolean algebra, and conversely.(より正確には、集合のすべての空間はブール代数と同型である、逆に言えば)
This throws new light on the well-known fact that the propositional calculi of classical mechanics are Boolean algebra.(これは、古典力学の命題計算がブール代数であるという周知の事実に新たな光を投げかける)
It is interesting that L6 is also a logical consequence of the compatibility of the observables occuering in a, b, and c.(L6がa、b、cで発生している観測可能なものの互換性の論理的帰結でもあることは興味深い)That is, if observations are made by indipendent observers, and conbined accoding to the usual rules of logic, one can prove L1-L4,L6,and L71-L74.(つまり、観察が独立した観察者によって行われ、通常の論理規則に従って結合された場合、L1-L4、L6、およびL71-L74を証明することができる。)
These facts suggest that the distributive law may break down in quantum mecanics.(これらの事実は、分配法則が量子力学で崩壊する可能性があることを示唆している。)That it does break down is shown by the fact that if a denotes the experimental observation of a wave-packet ψ on one side of plane in ordinaly space, a' correspondingly the observation of ψ on the other side, and b the observation of ψ in a state simmetric about the plane, then(as one can readily check) :

b∩(a∪a')=b∩◻︎=b ＞ ◎=(b∩a)=(b∩a')
=(b∩a)∪(b∩a')

REMARK : In connection with this, it is a salient fact that the generalized distributive law of logic :(備考：これに関連して、顕著な事実として、論理の一般化された分配法則：)
L6* : Π[i=1→m](Σ[j=1→n]a[i,j])=Σ[j(i)](Π[i=1→m]a[i,j(i)]
brakes down in the quotient algebra of the field of Lebesgue measurable sets by the ideal of sets of Lebesgue measure 0, (は、ルベーグ測度0の集合の理念によるルベーグ測定可能な領域の商において崩壊する)
which is so fundamental in statistics and the formulation of the ergodic principle.(統計的に非常に基本的でありエルゴード原理の定式化である)

補足

例えば、この部分が間違っていると思います。
q = "粒子は原点の左にある"
r = "粒子は原点の右にある"
すると命題"q ∨ r"は恒に真

私の考えではこうなります。
q = "粒子は原点の左にある"
r = "粒子は原点の右にある"
とすると、q∨rは偽である。反例は“粒子は原点にある”です。

参照文献では、
b∩(a∪a')=b∩◻︎=b
と書いてあります。a∪a'=◻︎と表していますが、a∨~a=真というのと同じことです。「aまたは、aでない」は排中律という恒真命題です。ただ分からないのは、不確定性原理の位置と運動量をa,a'に対応させてbは他の物理量という事なのか、それともb=運動量、a=位置と対応させているのかですね。

p831
These facts suggest that the distributive law may break down in quantum mecanics.(これらの事実は、分配法則が量子力学で破綻する可能性があることを示唆している。)That it does break down is shown by the fact that if a denotes the experimental observation of a wave-packet ψ on one side of plane in ordinaly space, a' correspondingly the observation of ψ on the other side, and b the observation of ψ in a state simmetric about the plane, then(as one can readily check) :
(それが破綻するのは次のようになる場合です。仮にaが通常の空間における平面の一方の側の波束ψの実験観測を示し、同様a'が他方の側のΨの観測、およびbがψの観測平面に関して対称な状態では、（すぐに確認できるように）:)
b∩(a∪a')=b∩◻︎=b ＞ ◎=(b∩a)=(b∩a')=(b∩a)∪(b∩a')
英文がよく分からないし、＞より右の式の意味もよく分からないのですが、◎は矛盾(恒偽)です。

回答者のアカウント抹消してますね。お礼の欄に参考文献の前後の部分を挙げておきます。