論理

質問

いくつか聞きたいことがあります、
よろしくお願いします。
(1)
r(x)を真にするxが存在するということを記号r(x)''で表すことにすると、
　　　(p(x)∨q(x))'⇔p(x)'∨q(x)'
であり、また
すべてのxについてr(x)は真であることを記号r(x)''で表すことにすると、
　　　(p(x)∨q(x))''⇔p(x)''∨q(x)''
は成り立たない。
この前にもにたような質問したのですが、わかったつもりだったのですが、やはり、わかっていないことに最近きずきました。(言葉ではわかる)
解説よろしくお願いします。(どのような状態を指すのかいまいちわかりません)
http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=1490362
(2)
p∨(￢p∧q)⇔p∨q⇔「a＞0 or b^2－4ac＞0」
最後の変形がわかりません。
(3)
「p⇒qは真」⇔「P⊆Q」⇔「￢PＵQは全体」⇔「￢p∨qは真」
⊆一本足りませんけど、勘弁してください。
「P⊆Q」⇔「￢PＵQは全体」⇔「￢p∨qは真」

これらがわかりません。。「￢PＵQは全体」,「￢p∨qは真」
自体どういう意味かもいまいちわかりません。

よろしくお願いします

回答No.1

shkwta · ベストアンサー

(1)
＞どのような状態を指すのかいまいちわかりません
何かの状態を指すものではなく、真偽の関係を示しているだけです。

　(p(x)∨q(x))'⇔p(x)'∨q(x)'

この式は、(p(x)∨q(x))'が真のときはp(x)'∨q(x)'が真であり、(p(x)∨q(x))'が偽のときはp(x)'∨q(x)'が偽であることを示します。したがって、一方の真偽がわかれば、もう一方の真偽がわかります。

証明はほとんど明らかですが一応書いておくと、
----------
(p(x)∨q(x))'が真の場合、p(e)∨q(e)が真となるeが存在します。p(e)が真の場合、p(x)'は真であり、q(e)が真の場合、q(x)'は真です。これで→が示せました。

つぎに、p(x)'が真の場合、p(e)が真となるeが存在します。そのようなeについて、p(e)∨q(e)は真。
q(x)'が真の場合、q(e)が真となるeが存在します。そのようなeについて、p(e)∨q(e)は真。
これで←が示せました。
---------

　(p(x)∨q(x))''⇔p(x)''∨q(x)''
この式は、→が偽で←が真です。

p(x)''⇒(p(x)∨q(x))''
q(x)''⇒(p(x)∨q(x))''
より←が示せます。

→が偽であることは反例を一つ示せば足ります。
-------------
{0,1}について、p(0)は真、p(1)は偽、q(0)は偽、q(1)は真とすると、
p(0)∨p(0)は真、p(1)∨p(1)は真ですから、(p(x)∨q(x))''は真です。
p(1)は偽だからp(x)''は偽、q(0)は偽だからq(x)''は偽です。したがって、p(x)''∨q(x)''は偽です。
-------------

(2)a,b,cは何を表しているのでしょう？前後にa,b,cの説明がついているはずで、いきなりa＞0 or b^2－4ac＞0などと出てくることは無いはずです。a,b,cの説明を補足してください。

(3)pとP,qとQの関係について、何かの説明がついているはずです。
ひとつ考えられるのは：

pはp(x)の略、qはq(x)の略だとします。集合Uの部分集合P,Qを考え、Pはp(x)を真にするxの集合、Qはq(x)を真にするxの集合とします。すると、
「p(x)⇒q(x)」⇔「x∈P ⇒ x∈Q 」⇔「P⊆Q」

次に、￢Pとは、Uの元のうちPに属さないものの集合を示します。Uの任意の元xは、Pか、￢Pのどちらかに属します。Pに属する場合は、Qにも属します。したがって、Uの任意の元xは、￢Pか、Qのどちらかに属しますから、￢PとQの和集合 ￢P∪Q は U と同じものになります。
逆に、Uの任意の元xが、￢Pか、Qのどちらかに属するとします。Pの元は￢Pに属しませんから、Qに属します。すなわち、「P⊆Q」です。

これが、「P⊆Q」⇔「￢P∪Q は全体」の意味です。

つぎに、Uの任意の元xは、￢Pか、Qのどちらかに属しますが、これは(￢P(x))∨q(x) と同じことです。これが、「￢P∪Q は全体」⇔「￢p∨qは真」の意味です。

お礼

すいません、補足させてください。
本題に戻りますが、
(1)
言葉で言うと、
(p(x)∨q(x))''　p(x)orq(x)(全体)が真ということで、
p(x)''∨q(x)''　p(x)が真orq(x)が真ということですよね？
だから、
＞この式は、→が偽で←が真です。
何ですよね？？

補足

返信ありがとうございました。
致命的なミスを２つしてしまいました・・・・
１つは、(3)番、仰るとおりそのようなことです。
もう1つは、(2)番
正確には・・・・
p∨(￢p∧q)⇔p∨q を使えば、
ある実数についてax^2＋bx＋c＞0(a≠0)⇔a＞0or「a＜0,b^2－4ac＞0」
⇔「a＞0 or b^2－4ac＞0」
の最後の同値変形がいえる。
です・・・・
すいませんでした。。

回答No.2

shkwta

No.1です。
＞(1)言葉で言うと、
その解釈で正しいです。

＞p∨(￢p∧q)⇔p∨q を使えば、
＞ある実数についてax^2＋bx＋c＞0(a≠0)⇔a＞0or「a＜0,b^2－4ac＞0」
＞⇔「a＞0 or b^2－4ac＞0」

まず、p∨(￢p∧q)⇔p∨q　については、真理表を作れば、次のように明らかです。
(p)　　(q)　　(p∨(￢p∧q))　(p∨q)
偽　　　偽　　　　　偽　　　　　　偽
偽　　　真　　　　　真　　　　　　真
真　　　偽　　　　　真　　　　　　真
真　　　真　　　　　真　　　　　　真

ここで、次のように置きます。
p⇔a＞0
q⇔b^2－4ac＞0

これを、p∨(￢p∧q)⇔p∨q　に当てはめれば
（a≠0という条件が課せられているので、a＞0の否定はa＜0となります）

a＞0or「a＜0,b^2－4ac＞0」⇔「a＞0 or b^2－4ac＞0」

お礼

返信ありがとうございました。
完璧です。。。