接するように

質問

(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = k が　3x+y=5 に接するように kを定めて下さい;

楕円　x^2 + x*y + y^2 = 1　と　点(2,1) 間の最短距離を
　　　　　多様な発想で求めて下さい；

回答No.5

staratras

No.4です。件の三角方程式を念のためにまともに（？）解いてみます。
0<t<π/2　の範囲では　tant=T とおくと、sint=T√(1/T^2+1) とおけるので、
4sint-3tant+3√3=0　は　4T√(1/T^2+1)-3T+3√3=0　これを整理すると
9T^4-18√3T^3+20T^2-18√3T+27=0 となります。（やはり4次方程式が登場！）

この実数解は　T≒0.8616863…とT≒2.9968279…　の2つで、
このうち題意を満たすのは後者ですが、極めて3に近くなっています。

回答No.4

staratras

No.1です。三角関数を活用すると、おそらく偶然の産物でしょうけれど極めて精度の高い近似解が、4次方程式を解かなくても求められることが分かりました。

No.1の図から明らかなように、問題の楕円は長軸がx軸に対して45度傾いた楕円です、そこで楕円と点P(2,1)を、原点を中心に45度だけ反時計回りに回転して考えることにします。途中の計算は省略しますが、楕円の式はx^2+3y^2=2 …（１)となり、点Pは点P'(√2/2,3√2/2）…（２）となります。

（１）（２）の最短距離を求めることにします。（１）から楕円上の点Q(x,y)はtをパラメータとして
x=√2cost,y=√(2/3)sint　と置けます。グラフから(0<t<π/2）の範囲で考えれば十分です。

ここで点Qと点P'との距離の2乗をf(t)とすると、
f(t)=(√2/2-√2cost)^2+(3√2/2-√(2/3)sint)^2 これを展開して整理すると
f(t)=17/3+4/3cos^2t-2cost-2√3sint となります。
tで微分すれば、f'(t)=-8/3sintcost+2sint-2√3cost
ここでf'(t)の符号の変化を考えると、(0<t<π/2）の範囲でf(t)の最小値を与えるtの値は
f'(t)=0とおいて整理した次の方程式の解です。(cost(≠0)で割っています）

4sint-3tant+3√3=0　…(３）

ここで偶然としては「出来すぎ君」ですが、tant=3 を満たすtの値が方程式の解に驚くほど近いのです。なぜならtant=3 のときsint≒0.948683298で、(３）の左辺に代入すると-0.009114≒0です。このときのcost≒0.31622776、t≒1.24905772rad≒71.565度　です。

よって近似的な点Qの位置は
x=√2cost≒0.4472135955　y=√(2/3)sint≒0.7745966692 でf(t)≒1.88120913

求める最短距離は　√f(t)≒1.3715717741　　これはNo.1の答え1.37157166と比較すると小数第6位くらいまで一致します。

なお下の図はこの近似解を示しています。簡単な作図で点Qが高精度で近似的に求められます。というよりこの近似解はこの図を見て気が付いたのです。楕円上の点のパラメータ表示のtは、楕円上の点Qと原点を結んだOQがx軸となす角ではなく、楕円の長径を半径とする補助円上の点Q'と結んだOQ'がx軸となす角です。奇しくも（？）点P'はこのOQ’の延長上にあります。

したがって以下の作図で近似的に最短距離となる楕円上の点Qが得られます。

1,楕円の長軸を半径とする補助円を描き、tant=3となるように∠tをとって補助円との交点をQ’とする。
2,Q'からx軸に垂線をおろし、楕円との交点をQとする。

回答No.3

noname#231363

ANo.2の一部訂正です。

・最短距離
y1≒0.380674423とすると、式(a)から
x1^2≒0.380674423^2+3×0.380674423≒1.286936285(>1)
となるので、x1>0としてx1の値を求める必要はありませんでした。

回答No.2

noname#231363

・kの値
(1)
直線3x+y=5からy=-3x+5
これを円の方程式に代入すると、
(x-2)^2+(-3x+4)^2=k
10x^2-28x+20-k=0
判別式をDとすると、D/4=0を満たせばいいので、
(-14)^2-10×(20-k)=0
これからk=2/5
(2)
与えられた円を満たす点(x1,y1)における接線上の任意の点(x,y)について、
ベクトル(x1-2,y1-1)とベクトル(x-x1,y-y1)は直交するので内積は0
よって、
(x1-2)(x-x1)+(y1-1)(y-y1)=0（これは接線の方程式）
(x1-2)x+( y1-1)y=(x1-2)x1+(y1-1)y1
これと直線3x+y=5を比較して、y1-1=m(≠0)とおくとy1=m+1、x1-2=3m、x1=3m+2であるから、
(x1-2)x1+(y1-1)y1=3m(3m+2)+m(m+1)=10m^2+7m
これが5mに等しくなるので、
10m^2+7m=5m
2m(5m+1)=0
これからm=-1/5
以上から、
k=(x1-2)^2+(y1-1)^2=(-3/5)^2+(-1/5)^2=10/25=2/5
(3)
直線3x+y=5の傾きは-3であるから、点(2,1)から最短にあるこの直線上の点(x1,y1)は、ベクトルの成分を用いて
(x1,y1)=(2,1)+n(3,1)=(3n+2,n+1)
と表せるので、
3(3n+2)+(n+1)=5
これからn=-1/5
よって、
ベクトルn(3,1)=(-3/5,-1/5)であるから、k=(-3/5)^2+(-1/5)^2=10/25=2/5
(4)
点(2,1)を通り直線3x+y=5に垂直な直線はy=(x-2)/3+1=x/3+1/3
これらの直線の交点（これは円と直線3x+y=5の接点にもなる）の座標は、
-3x+5=x/3+1/3からx=7/5
y=-3×7/5+5=4/5
これを円の方程式に代入すると、
k=(7/5-2)^2+(4/5-1)^2=10/25=2/5

・最短距離
先ず、点(2,1)が楕円外にあることを確認し（2^2+2×１+1^2=7）、
楕円の方程式の両辺をxで微分すると、
2x+y+x・dy/dx+2y・dy/dx=0
dy/dx=-(2x+y)/(x+2y)
求める最短距離が得られる楕円上の点を(x1,y1)とすると、この点における接線の傾きは、
-(2x1+y1)/(x1+2y1)
また、この点と点(2,1)を通る直線の傾きは、(y1-1)/(x1-2)
これらの直線は直交するので、
-(2x1+y1)/(x1+2y1)×(y1-1)/(x1-2)=-1
(2x1+y1)(y1-1)=(x1+2y1)(x1-2)
これを展開して整理すると、
x1^2=y1^2+3y1－(a)
これを楕円の方程式に代入すると、
y1^2+3y1+x1y1+y1^2=1
2y1^2+3y1-1=-x1y1
この両辺を2乗すると、
4y1^4+12y1^3+5y1^2-6y1+1=x1^2y1^2
4y1^4+12y1^3+5y1^2-6y1+1=(y1^2+3y1)y1^2
3y1^4+9y1^3+5y1^2-6y1+1=0
この後は、参考URLからy1≒0.2311355957とy1≒0.380674423の2つの候補が出てきます。
以下は電卓での計算です。
y1≒0.380674423とすると、式(a)からx1≒1.134432142(＞0)となって、x1^2＞1であることが明らかで、楕円の方程式を満たさないので不適
y1≒0.2311355957とすると、式(a)からx1≒0.864193526(＞0)
これらの値を楕円の方程式の左辺に代入すると、
0.864193526^2+0.864193526×0.2311355957+0.2311355957^2≒0.999999999
となって適
よって、求める最短距離は、
√{(2-0.864193526)^2+(1-0.2311355957)^2}≒1.37157166

参考URL：

http://keisan.casio.jp/exec/system/1177976627

回答No.1

staratras

前半は、kの値は点P(2,1)から直線3x+y-5=0までの距離の2乗に等しいので、

k=(|3・2+1-5|/√(3^2+1^2))^2=(2/√10)^2=2/5

後半も同様の考え方で解くことが可能です。まず、楕円の式をyについて解くと
y=0.5(-x±√(4-3x^2)) …（１）

この楕円上にあって、点P(2,1)との距離の最小値を与える点Qは下のグラフから、楕円の式の複号のうち+の方(大まかに言えばグラフの上方の赤い部分）にあることは明らかなので（１）のうちy=0.5(-x+√(4-3x^2)) …（２）だけを考えれば十分です。なお点Qは点Pを中心とし楕円に接する円を描いたときの接点です。

点Qの座標は（２）から（t.0.5(-t+√(4-3t^2))とおけるので、点P（2,1)と点Qとの距離の2乗をf(t)とすれば、
f(t)=(2-t)^2+｛1-0.5(-t+√(4-3t^2)｝^2 …（３）とおけます。
tで微分すると
f'(t)=(3t^2+(√(4-3t^2)+3)t-3√(4-3t^2)-2)/√(4-3t^2)）…（４）
√の中が正の範囲（tの絶対値が√(4/3)未満）で（４）の分子の増減だけを考えればよく
分子=0とおいて整理すると(3)の最小値を与えるtの値は、以下の4次方程式の解で√内が正の範囲にあるものであることがわかります。3t^4+5t^2+3t-8=0 …（５）

数値計算をして（５）を解くと　t≒0.864194　くらいです。このとき
f(0.864194)≒1.8812088 なので
求める最短距離は√1.8812088≒1.37157166

（５）の方程式は実数(整数）係数の素直な4次方程式なので、公式に代入すれば厳密な解が求められますが、めちゃくちゃに複雑な形の式になりそうです。興味のある方はやってみてください。