楕円上の点と外部の点の距離

質問

楕円上の点とその外部の定点の距離を求めたいのですが、どうやったらいいのでしょう。言い換えれば、楕円外部のある点と楕円周の点の最短の長さ。

http://okwave.jp/qa2153823.html
こちらにはアイデアとして、楕円を円に直して定点との距離を求め、楕円に戻すということを考えているようですが、この方法だと円と外部の点の距離はどうやって求めたらよいのでしょう？

ヒントでもありましたら宜しくお願い致します。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

楕円の式：(x/a)^2 +(y/b)^2=1 (a>b>0としておきます）
定点A(xo,yo) (xo>0,yo>0としておきます）
楕円上の任意点P(c,d) (c>0,d>0としておきます）
　(c/a)^2 +(d/b)^2=1 …(1)
点P(c,d)における接線の式:(cx/a^2)+(dy/b^2)=1
　cxb^2 +dya^2=(ab)^2 …(2)
点P(c,d)における法線の式：(x/c)(a^2)-(y/d)(b^2)=a^2-b^2 …(3)
法線が点Aを通る条件：
　((x-xo)/c)(a^2)-((y-yo)/d)(b^2)=0
　(x/c)(a^2)-(y/d)(b^2)=(xo/c)(a^2)-(yo/d)(b^2) …(4)
(3),(4)は同一式だから右辺が等しい。
　(xo/c)(a^2)-(yo/d)(b^2)=a^2-b^2　…(5)
(1)と(5)をc,dの連立方程式として解けば、
楕円上の接点P(c,d)が求まる。
　c= ?, d= ?
（↑自分で確認して下さい。文字定数ばかりですから式が複雑になるかも知れません。文字定数に具体的な数値を与えれば簡単に出てきます。）

接線の式(2)上の点P(c,d)と点A(xo,yo)との距離Dが点Aと楕円上の点との最短距離になるから,点A(xo,yo)から接線に下した垂線の公式から
D=|c xo(b^2)+(d yo(a^2)-(ab)^2|/√[{c xo(b^2)}^2 +{d yo(a^2)}^2]
と求まります。

具体的な例題に当てはめて、図を描いいて、上記手順で求めていけば、解が求められますよ。
分からなければ補足質問でどこが分からないか質問されたし。

お礼

そうですね、楕円なら接線の式から法線を求められたのでした！
楕円の接線の法線の一般式を出して、それが外部点を通る条件から式を求め、それとその式の接点の文字が楕円の式も満たすことから連立する。

>(3),(4)は同一式だから右辺が等しい。

部分の式変形がポイントですね！

法線で解決するとは、勉強不足でした。すみません。

回答No.1

joggingman

えーと、
(x-α)^2+(y-β)^2=r^2
x^2/a^2 + y^2/b^2 =1
が接するとして、（X,Y)における接線の傾きを等しいとおくと、
-(X-α)/(Y-β)=-(bX)^2/(aY)^2
から接点（X,Y）を求めるのはどうでしょうか？

補足

円と楕円が接するようにするのでしょうか？もう少し詳しくお聞きしてもよろしいでしょうか。

書き忘れましたが、普通に楕円の中心の外部の定点から直線を出して、楕円の式と連立するという方法もありますが、もっと良い方法はないものでしょうか。