数C ２次曲線（基礎）の質問です。#2

質問

数Cの楕円の問題です。事情により質問できる方がおらず困っています。お手数をおかけしてすみません。宜しくお願い致します。

「楕円 4x^2 + y^2 =4 が、直線 y=-x+k と異なる2点 Q(x1, y1), R(x2, y2) で交わるとき、
（１）定数ｋの値の範囲を求めよ。
（２）線分QRの中点Pの軌跡を求めよ。」　です。

（１）は判別式を使って -√5＜k＜√5　と求められたのですが、（２）がわかりません。

答えだけでなく、解き方も載せてくださると幸いです。
お手数をおかけしますが、宜しくお願い致します。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

点Q,Rは楕円 4x^2 + y^2 =4 が、直線 y=-x+k の交点で

それはこの連立方程式から導かれる

4x^2+(-x+k)^2=4

を整理して得られる

5x^2-2kx+k^2-4=0　　　　　(1)

の２根がx座標を与えるということがわかりますか。

つまりこの２次方程式の解がx1,x2です

線分QRの中点P(X,Y)のx座標は

X=(x1+x2)/2

であり、(1)の２根の和の半分です。

(1)の２根の和は根と係数の関係により

x1+x2＝2k/5

従って

X=k/5 (2)

Yはy=-x+kに代入して

Y=-k/5+k=4/5k　　(3)

(2)、(3)よりkを消去して

Y=4X　　(4)

つまり点Pは

y=4x上にあります。ただし問（1）の制限によって

-√5/5＜ｘ＜√5/5　　(5)

です。

答えは(4)と(5)を書いておく必要があります。

お礼

ご回答ありがとうございました。また質問するときがありましたら、宜しくお願い致します。

回答No.3

jamf0421

No.1さんの回答の通りですが、改めて書いてみます。与えられた式は
x^2+y^2/4=1・・・(1)
ですから、x=0の時y=±2、y=0の時x=±1で、ｘ軸とは(-1, 0), (1,0)、y軸とは(0, -2), (0, 2)と交わる縦長の楕円です。y=-x+kの線は傾き-1の直線です。よって楕円を挟む二つの接線が動ける限界に対応します。
y=-x+kですからこれを楕円の式に入れて
4(-x+k)^2+y^2=4
5x^2-2kx+k^2-4=0・・・(2)
です。異なる2点で交わるのですから、この式の判別式が
D=k^2-5(k^2-4)>0
4k^2-20<0
-√5<k<√5・・・(3)
が動ける限界とわかります。これから先、(2)を解いて交わる点をきちんとだせば
((k+√(20-4k^2))/5, (4k-√(20-4k^2))/5)及び（(k-√(20-4k^2))/5, (4k+√(20-4k^2)/5)
となりますので、中点は容易に出せて
(k/5, 4k/5)
です。よって中点の軌跡はy=4xです。

もう一つの考え方は、中点の軌跡は必ず楕円を挟む接線と楕円の接点を通る筈、という理屈をつかいます。k=√5とk=-√5の時(つまり判別式ゼロの時）、(2)の根はk/5、すなわち
x=√5/5 またはx=-√5/5
となります。このそれぞれに対応するｙ=k-xはそれぞれ
y=√5-(√5/5)=4√5/5, y=-√5+(√5/5)=-4√5/5
となります。これで接点が求まったことになります。したがって求める軌跡は
(√5/5, 4√5/5), (-√5/5, -4√5/5）
を通ります。これからもy=4xが容易に出せます。

お礼

ご回答ありがとうございました。また質問するときがありましたら、宜しくお願い致します。

回答No.1

gohtraw

ｙ＝-ｘ＋ｋ　を与えられた楕円の式に代入すると
４ｘ＾２＋（ーｘ＋ｋ）＾２＝４
５ｘ＾２－２ｋｘ＋ｋ＾２－４＝０
これを解くと
ｘ＝（２ｋ±√（４ｋ＾２－２０（ｋ＾２－４）））／１０
これらがｘ１およびｘ２なので点Pの座標を（ｐ、ｑ）とすると
ｐ＝ｋ／５、ｑ＝４ｋ／５
これより点Ｐの軌跡はｙ＝４ｘ　となります。

お礼

ご回答ありがとうございました。また質問するときがありましたら、宜しくお願い致します。