楕円体上の最短測地線

質問

地球上の二点の長さを手計算でやろうと思い立ってこの問題にぶつかりました。赤道半径と極半径に22kmの差があるので、地球を球とみなせば容易に計算できるのですが、かなりの誤差が心配されます。

とりあえずモデルとして採用しているのは、αをパラメータとして、
x^2+y^2+αz^2=1
であらわされる楕円体です。この楕円体上の二点の最短測地線を求めたいです。楕円体上の測地線が何で与えられるのかすら知りません。（2点を通る平面で切断した切断面なのかと想像はしているのですが）また、それらの中で最短の測地線を与えるものは具体的に計算できるのでしょうか？さらに最短測地線が求まったとして、その楕円弧長はやはり楕円積分となって初等関数では表せませんか？

とりあえず疑問にしているのは、
・楕円体上の任意の二点の最短線を求める方法
ということです。ご教示よろしくお願いします。

回答No.2

sunspot_number · ベストアンサー

楕円体上の二点を結ぶ測地線といえば、そもそも二点間の最短距離を結ぶラインです。
例えば地球儀上である二点間にゴム紐を渡してピンと弾いたときにゴム紐がそれを示してくれます。
ですからわざわざ「最短測地線」と名乗る必要はありません。

書籍でお薦めするのは、
「現代測量学 ４　測地測量１」社団法人日本測量協会
の４章にお望みの様々な計算式が載っています。それぞれの計算式はステップが多くてとても引用することが出来ません。
2000km程度までなら多項式の近似式が一般的です。
地球規模になるとどうしても積分が関わってきます。

この本は日本測量協会創立30周年を記念して発行された物で、図書館で探していただくか（国会図書館には絶対あるはず）、日本測量協会に問い合わせてみてください。日本測量協会の本部や各地方支部には在ると思いますので。

さて、ある地点の経緯度からの方位と距離を与えて目的地の経緯度を求めるのが測地学の第１問題と呼ばれ、
二地点の経緯度から二地点間の距離と方位を求めるのが測地学の第２問題と呼ばれます。

この本のK.Hubenyによる拡張式（ガウスの平均緯度式に対する）これは2000km離れた地点に対する第２問題に有効なもので実際に私はプログラミングして使っています。
この計算式だと日本国内が対象だとほぼ問題無く使えます。

測地学の第１問題と第２問題共にサポートしている便利なサイトがあります。
http://www.arknext.com/utility/contents/gccj.html
手計算の結果と比べて検算に使えます。
このページはJavaScriptで記述されていますのでファイルに保存すればオフラインでも計算できます。
興味があればソースを熟読するのもいいかもしれません。もちろん著作権を守って。

測地や測量の世界では一般的に地球を楕円体で表す場合は赤道半径a と扁平率f で表示します。
現在の日本の測量法で採用されている楕円体は、
　地球赤道半径 a = 6378137m
　扁平率 f = 1 / 298.257222101
です。

測量法第11条
http://tochi.hourei.info/tochi12-3.html
と測量法施行令第２条をご覧下さい。
http://tochi.hourei.info/tochi14-1.html

丸善発行の理科年表もお読みになられることをお薦めします。

お礼

お礼遅くなりました。ありがとうございます。確かに曲率一定ではないですが、楕円体は綺麗なんで測地線は最短線を与えるんですね。日本測量協会の本は大学の図書館に所蔵してあるみたいなのですが、別キャンパスにしかないみたいなので来週あたりにでも見に行ってみます。

回答No.1

Ryou29

Oblate spheroidal coords(扁平回転楕円体座標)を使うといいと思います。測地線は

　d^2xi/ds^2 + sum(i,j,k)(C(i;j,k)dxj/ds・dxk/ds)

= 0

で表せると思います。測地線の方程式。Riemann幾何学参照。(x1,x2,x3)は扁平回転楕円体座標系です。sは弧長パラメータ。
　最短距離は
　　INT(si,sf:ds)
で与えられると思います。線分素dsのsiからsfまでの定積分です。
　難しそうですね。参考になればいいのですが。ご健闘を祈ります。

お礼

お礼遅くなりました。ありがとうございます。