楕円面と２葉双曲面

質問

(1)2点(1,0,0),(-1,0,0)からの距離の和が2Hである点(x,y,z)たちの作る　曲面を求めよ。
(2)2点(1,0,0),(-1,0,0)からの距離の差の絶対値が2hである点(x,y,z)たちの作る　曲面を求めよ。

(1)(2)ともどのように計算すれば良いか分かりません。
一応考えた物を下記に示します。

(1)
求める曲面上の点を(x,y,z)とすると
曲面から(1,0,0)までの距離は√{(x-1)^2+y^2+z^2}
曲面から(-1,0,0)までの距離は√{(x+1)^2+y^2+z^2}
２点からの距離の和が2Hなので
√{(x-1)^2+y^2+z^2}+√{(x+1)^2+y^2+z^2}=2H
この式を計算していくと
(x^2/H^2)+{y^2/(H^2-1)}+{z^2/(H^2-1)}=1　←楕円面
となりました。

(2)
(1)と同じように２点からの距離の差の絶対値が2hになるように式をたてると、
|√{(x-1)^2+y^2+z^2}-√{(x+1)^2+y^2+z^2}|=2h
これを計算すると
(1)と同じ答えになってしまいます。

|√{(x-1)^2+y^2+z^2}-√{(x+1)^2+y^2+z^2}|=2h
を両辺２乗すると絶対値ははずれますよね？
すると
{(x-1)^2+y^2+z^2}-2√{(x-1)^2+y^2+z^2}√{(x-1)^2+y^2+z^2}+{(x+1)^2+y^2+z^2}=4h^2
⇔2x^2+2y^2+2z^2+2-4h^2=2√{(x-1)^2+y^2+z^2}√{(x-1)^2+y^2+z^2}
この式を両辺２乗すると
(x^2+y^2+z^2+1-2h^2)^2={(x-1)^2+y^2+z^2}{(x-1)^2+y^2+z^2}
計算していくと
(x^2/h^2)+{y^2/(h^2-1)}+{z^2/(h^2-1)}=1
となりました。
２葉双曲面になると思うのですが楕円面になってしまいます。
どのように求めれば良いのでしょうか？
よろしくお願い致します。

回答No.3

mis_take

> 自分の計算方法であっているということでよろしいでしょうか？
何か不安そうですね。

H^2-1>0 なので H^2-1=K^2 とおくことができて
x^2/H^2+y^2/K^2+z^2/K^2=1

h^2-1<0 なので 1-h^2=k^2 とおくことができて
x^2/h^2-y^2/k^2-z^2/k^2=1

これで，安心できるのでは？

お礼

回答ありがとうございます。
教科書に２葉双曲面の方程式は、
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)-(z^2/c^2)=-1 (a>0,b>0,c>0)
または、
-(x^2/a^2)-(y^2/b^2)+(z^2/c^2)=1 (a>0,b>0,c>0)
と記載されていたので不安になっていました。

回答No.2

rabbit_cat

＃１様のとおり、
H^2-1>0、h^2-1<0を考えれば、
(x^2/H^2)+{y^2/(H^2-1)}+{z^2/(H^2-1)}=1
は楕円面、

(x^2/h^2)+{y^2/(h^2-1)}+{z^2/(h^2-1)}=1
は、双曲面になっています。

お礼

理解できました。
ありがとうございます。

補足

回答ありがとうございます。
自分の計算方法であっているということでよろしいでしょうか？

回答No.1

zk43

三角不等式を考えると、
2H≧2より、H≧1
2h≦2より、h≦1
であり、同じ算式でも符号が違うのではないでしょうか。

算式の構造として、ちょっと簡略化して考えると、
√x＋√y＝aと｜√x－√y｜＝a
からは、同じ算式、
(x＋y－a^2)^2＝4xy
が導かれます。
なので、Hとhを変えただけの同じ算式になっているのかと・・・

お礼

理解できました。
ありがとうございます。

補足

回答ありがとうございます。
ということは
H≧1,h≦1
に注意して、(1)(2)共に同じ式になるということでしょうか？