二次曲線の問題＞＿＜？

質問

（１）放物線ｙ＾２＋２ｙ＋４ｘ－１＝０を点（２，１）に関して対象に移動した曲線を求めよ。
（２）だ円２ｘ＾２＋３ｙ＾２－１＝０を
直線ｘ＋ｙ＝１に関して対称に移動した曲線を求めよ。

⇔
まず（１）は題意の式の上にある点をＰ（ｘ、ｙ）として、点Ａ（２．１）と対称なところＱ（Ｘ，Ｙ）として中点の座標の定理を使って、もとめたものを、再度題意の長い式に戻してあげて、曲線の式が求まりました。

で、（２）がよくわかりません＞＿＜
２ｘ＾２＋３ｙ＾２－１＝０上の点をＰ（ｘ，ｙ）とし、これと直線ｘ＋ｙ＝１に対して対称な点、つまり知りたい部分を大文字のＸ，Ｙで表してＱ（Ｘ，Ｙ）としました。

ＰＱの中点は（１）と同じで、Ｒ（x+X/2,y+Y/2)となり
これはｘ＋ｙ＝１の式をみたら、＝１を式の後ろに付けれるので、（x+X/2,y+Y/2)＝１とまでできました＞＿＜

でもこの後が出来ませんでした。

あと、念のため図を描いたのですけど、Ｐの楕円を一つ、あと、Ｑの楕円を（楕円かわからないですけど今は＞＿＜）書いてみて、その二つの楕円の間に、距離が対称となるように、直線ｘ＋ｙ＝１を書きました。

でココの部分で質問なのですけど、
私の図は楕円同士を結ぶ
直線ＰＱと、直線ｘ＋ｙ＝１の二つの直線が
垂直ではないのですけど合ってますか＞＿＜？？？

一応中点の座標Ｒの位置は点Ｐに対してと点Ｑに対して同じ距離、たとえば、ノートの図の上では１ｃｍ取っているので、これでＯＫだと思ったのですけど。。
もしＰＱと直線ｘ＋ｙ＝１の線が
垂直とかだったら、垂直の公式ｍｍ’＝－１が使えると考えたのですけど＞＿＜
でも、垂直にしないといけない理由が思い浮かばないので解りませんでした＞＿＜

誰かこの問題教えてください＞＿＜！！！
宜しくお願いします！！

回答No.1

murakkusu · ベストアンサー

>ＰＱの中点は（１）と同じで、Ｒ（x+X/2,y+Y/2)となり
これはｘ＋ｙ＝１の式をみたら、＝１を式の後ろに付けれるので、（x+X/2,y+Y/2)＝１とまでできました＞＿＜

???　(x+X/2)+(y+Y/2)=1
のこと？

＞直線ＰＱと、直線ｘ＋ｙ＝１の二つの直線が
垂直ではないのですけど

必ず垂直になります。

簡単な例として、
「点P(1,0)の直線y=xに対称な点Q」
といわれたら
答えは、Q(0.1)　になります。

このとき直線PQとy=xは垂直ですよね?

ただ単に、P,Qの中点に直線y=xがあるとすれば、無限に答えが出てきます。

「対称」という言葉の、詳しい意味はわかりませんが(辞書で調べてみてください)、数学での解き方としては、上述のように解きます。

では、質問の問題に適用すると、

どんな直線、曲線も、所詮は点の集まりです。
各点の直線ｘ＋ｙ＝１に対称な点を結べば、直線に対称な図ができます。

だから、nanaさんが言うように公式ｍｍ’＝－１の条件と、(x+X/2)+(y+Y/2)=1　の二つの式よりX,Yについての式を導けるはずです。

お礼

(x+X/2)+(y+Y/2)=1の部分はチョット間違えてました＞＿＜！！　あと、対称の意味について辞書で後で調べてみました♪数学の問題って、ときたま意味がわからない書き方するんで、困ってます。。＞＿＜！！
返事書いて頂いて、本当にどうもありがとうございました！！！

回答No.2

debut

ＱはＰをｘ＋ｙ＝１に対して対称にとった点だから、線分ＰＱと直線
ｘ＋ｙ＝１は垂直になるはずです。

図をかくときに、もとのだ円→直線ｘ＋ｙ＝１→対称移動しただ円→
もとのだ円上にＰをとる→Ｐから直線ｘ＋ｙ＝１に垂直に直線を引き、
それが移動しただ円と交わる点をＱ，直線ｘ＋ｙ＝１と交わる点をＲ
とする　　というような順でかいてみてください。

お考えのように、ＰＱと直線ｘ＋ｙ＝１との垂直条件を使用します。
この問題のめざすところは条件をうまく使って、もとのだ円の式のｘ、ｙ
を、すべてＸ，Ｙで表すことにあるのですが、最初にあげている条件
だけではｘ、ｙを消去できません。
　※最初にあげている条件　（ｘ＋Ｘ/２、ｙ＋Ｙ/２）＝１という表現は
　　誤りで、正しくは座標を式ｘ＋ｙ＝１に代入して
　　　(ｘ＋Ｘ)/２＋(ｙ＋Ｙ)/２＝１　です。
　※この式を後で使うために整理して、ｘ＋ｙ＝２－Ｘ－Ｙ　・・（１）
　　としておきます。

ＰＱと直線ｘ＋ｙ＝１との垂直条件
　・ＰＱの傾き・・・ｙ座標の差/ｘ座標の差から　(Ｙ－ｙ)/(Ｘ－ｘ)
　・ｘ＋ｙ＝１の傾き・・－１
　よって、垂直条件から　(Ｙ－ｙ)/(Ｘ－ｘ)＝１　で
　両辺にＸ－ｘをかけて　Ｙ－ｙ＝Ｘ－ｘ　
　整理して　ｘ－ｙ＝Ｘ－Ｙ　・・（２）

以上の（１）（２）の式を辺々加えれば　ｘ＝・・・
　　　　　　　　　　　　辺々引けば　　ｙ＝・・・　とどちらもＸ，Ｙ
で表すことができて、これらをもとの式に代入すれば答えがみつかる
でしょう。

ちょっと長くなってしまいました。

お礼

いつもありがとうございます！！　対称移動した楕円なのに、ノートに間違って書いてました＞＿＜
もっと数学の世界について学びたいと思います！本当に返事書いていただいてありがとうございました！！！