極値の問題

質問

問　だ円3x^2+4y^2=12 とx+2y=9との点の最短距離を求めよ

↑の問題で自分はまず
楕円の点(a,b)の法線の方程式
y=1/(-(3a/4b))*(x-a)+b・・・(1)
をたて、このx,yが直線x+2y=9と交わる点を求め
r^2=√((x-a)^2+(y-b)^2)
を作ったんですがコレだと計算がものすごくややこしくなってしまい，うまく手計算で(２変数a,bの
極小値を）求める事ができそうにありません。

もう少し簡単にできる解法はないものでしょうか？

どなたか宜しくお願いします。

回答No.2

springside

こういう問題は、極値の問題とは言わないです。

さて、No.1さんのように図形的にやった方がわかりやすいとは思いますが、以下のように、機械的な計算でやることもできます（図形的な意味を考えなくても、何も考えずに計算するだけなので、ある意味、楽です。）

楕円の式は、x^2/4 + y^2/3 = 1なので、
　x=2cosθ
　y=√3sinθ
とおける。
この点と、直線x+2y-9=0との距離Lは、
　L = ｜2cosθ+2√3sinθ-9｜/√（1^2+2^2)
　　=｜2cosθ+2√3sinθ-9｜/√5
である。（これが最小になるような条件を求めればOKです。）

ここで、分子を見ると、θの値にかかわらず、
　2cosθ+2√3sinθ < 9
なので、
　L = {9-(2cosθ+2√3sinθ)}/√5
である。

三角関数の合成をすると、
　2cosθ+2√3sinθ
　= 4(1/2×cosθ + sinθ×√3/2)
　= 4sin(θ+30°)
となるので、Lが最小になるのは、sin(θ+30°)が最大のとき、すなわち、
　sin(θ+30°)=1
のときで、そのとき、
　L = (9-4×1)/√5
　　= √5
である。

なお、sin(θ+30°)=1となるのはθ+30°=90°のときなので、θ=60°であり、最短距離になる楕円上の点(x,y)は、x=2cos60°=1、y=√3sin60°=3/2です。

回答No.1

hasuikeya

問題を「楕円周上の点と直線上の点で最短距離となる２点の距離を求めよ。」と解釈させていただきます。
　直線と平行な楕円の接線２本のうち直線と近い方の接線と直線の距離を求めるのはどうですか。割と簡単に計算できますよ。