arctanやarcsinが使われている2変数関数の解き方

質問

arctanやarcsinが含まれる2変数関数 f(x,y)を偏微分する方法に
ついて質問です。
一応はといてみたのですが自信がありません、
間違っている箇所があれば、ご指導いただければと思います。
(できれば、計算プロセスも詳しく書いていただけるとありがたいです。)

【問題】
次の2変数関数f(x,y)を偏微分せよ。
すなわち、関数f(x,y)のxおよびy関する変動関数fx(x,y)およびfy(x,y)を求めよ。

(1) arctan(y/x)
合成関数の微分の公式を用いる。
y/xをuとおくと、arctan(y/x)=arctan(u)
微分して arctan(u) = 1/(1+u^2)…(1)
y/xを微分して (y/x)'=(y*x^(-1))'=-y*x^(-2)=y/x^2…(2)
(1)(2)を合わせて、1/(1+(y/x^2)^2)=1/(1+y^2/x^4)

(2) arcsin(y/x)
合成関数の微分の公式を用いる。 y/xをuとおくと、
arcsin(y/x)=arcsin(u)
微分して arcsin(u) = 1/√(1-u^2)…(1)
y/xを微分して (y/x)'=(y*x^(-1))'=-y*x^(-2)=y/x^2…(2)
(1)(2)を合わせて、1/√(1-(y/x^2)^2)=1/√(1-y^2/x^4)

以上、ご指導のほど、よろしくお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

何度も質問されるようですが、
fxを求める時はyを定数として扱い変数がxだけであるとして微分します。
fyを求める時はxを定数として扱い変数がyだけであるとして微分します。
このことを理解して頂いていないように思います。
なので
>　y/xをuとおくと、
といった的外れな変換をすることになります。

(1)f(x,y)=arctan(y/x)

公式「{arctan(t)}'=1/(1+t^2)」を適用して

fx(x,y)=[1/{1+(y/x)^2}]*(-y/x^2)=-y/(x^2+y^2)
fy(x,y)=[1/{1+(y/x)^2}]*(1/x)=x/(x^2+y^2)

(2)f(x,y)=arcsin(y/x)

公式「{arctan(t)}'=1/(1-t^2)^(1/2)」を適用して

fx(x,y)=[1/{1-(y/x)^2}^(1/2)]*(-y/x^2)=-|x|y/{x^2*√(x^2-y^2)}
fy(x,y)=[1/{1-(y/x)^2}^(1/2)]*(1/x)=-|x|/{x*√(x^2-y^2)}

お礼

いつも的確なご指導をいていただき、ありがとうございます。
詳しく解説していただいたおかげで、大変よくわかりました。
2変数関数は、まだまだ勉強不足で、とんちんかんな質問を
することもあると思いますが、今後も懲りずにご指導のほど、
よろしくお願いします。

回答No.5

arrysthmia

そうですね。
u = y/x は的外れですから、
t = y/x と置くべきでした。
t なら的外れではありません。

お礼

補足していただき、ありがとうございます。

回答No.3

owata-www

まあ、もう＃２さんの解法を使えば解けると思いますが

(y/x)'=(y*x^(-1))'=-y*x^(-2)=y/x^2
→(y/x)'=(y*x^(-1))'=-y*x^(-2)=-y/x^2

です。なぜか-が抜けてます

お礼

お返事遅くなりました。
たびたびのご指摘ありがとうございました。

回答No.2

arrysthmia

「(1)(2)を合わせて」って何じゃい？

(d/du) arctan(u) = 1/(1+u^2)
(∂/∂x) u = y/x^2
が分かったのなら、
合成関数の微分　(∂/∂x) F(u) = { (d/du) F(u) } (∂u/∂x) より、
(∂/∂x)arctan(u) = { 1/(1+u^2) } (y/x^2)。
あとは、u を代入して x と y の式にする。

代入しただけでは、「合わせた」ことになりませんよ。
まして、u の所に u ' の値を代入してしまったのでは、
何やってんだか分かりません。

お礼

大変丁寧な回答、ありがとうございます。

>「(1)(2)を合わせて」って何じゃい？
すみません、手元の教科書には2変数関数の解くときの
書き方がよくわかってなかったので、適当な文言にしてしまってました。
ご教授いただいた解答は、私でも大変よくわかりました。
助かりました、ありがとうございました。

回答No.1

owata-www

まず
どれがfx(x,y)でどれがfy(x,y)なのでしょうか？

お礼

早速の解答、ありがとうございます。

>どれがfx(x,y)でどれがfy(x,y)なのでしょうか？
すみません、自信がなかったので、fx(x,y)だけを計算してみました。
説明不足で申し訳ありませんでした。