数II B、数列を教えてください

質問

写真の問題の数列の解き方を教えてください！
答えはそれぞれ
1)｛n(n+1)(n+2)｝/3
2)3n/2(3n+2)
3)(n-1)2^n+1
となるみたいです

回答No.2

asuncion

＞※結果は書かないでください。
そういうしばりはないはず。
さて、
1)
1・2 + 2・3 + 3・4 + ... + n(n+1)
= Σ[k=1~n](k^2 + k)
= n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2
= n(n+1)(2n+4)/6 = n(n+1)(n+2)/3

2)
3/(2・5) + 3/(5・8) + 3/(8・11) + ... + 3/((3n-1)(3n+2))
= 1/2 - 1/5 + 1/5 - 1/8 + 1/8 - 1/11 + ... + 1/(3n-1) - 1/(3n+2)
= 1/2 - 1/(3n+2) = 3n/(6n+4)

3)
S = 1・1 + 2・2 + 3・2^2 + 4・2^3 + ... + n・2^(n-1)
= 1・2^0 + 2・2^1 + 3・2^2 + 4・2^3 + ... + n・2^(n-1)
2S = 1・2^1 + 2・2^2 + 3・2^3 + 4・2^4 + ... + n・2^n
辺辺引いて、
-S = 1・2^0 + 1・2^1 + 1・2^2 + 1・2^3 + ... + 1・2^(n-1) - n・2^n
右辺の最初から最後の１つ手前までの合計は、初項1, 公比2の等比数列の第n項までの和。
-S = 1・(2^n - 1) - n・2^n = 2^n - 1 - n・2^n = 2^n(1 - n) - 1
∴S = (n-1)2^n + 1

回答No.1

noname#232123

Σk=(1/2)n(n+1), Σk^2=(1/6)n(n+1)(2n+1), Σk^3={Σk}^2 は記憶必須です。
※結果は書かないでください。
1) Σ[k=1~n]k(k+1)=Σk^2 + Σk.
2) Σ[k=1~n]3/{3k-1)(3k+2)}=Σ{1/(3k-1) - 1/(3k+2)}
={1/2-1/5}+{1/5-1/8}+・・・+{1/(3n-1)-1/(3n+2)}=1/2 - 1/(3n+2)
=(通分してください)。
3) S[n]=Σ[k=1~n]k*2^(k-1). とすると、
2*S[n]=1*2+2*2^2+3*2^3+.....+n*2^n.
これを原式の下に”指数をそろえて”かきだし、引き算をします。すると、Σ2^kが現れます。これをまとめて全体を整理してください。