数列91[B]（再掲）

質問

数列{a(n)}を次の式
a(1)=1,a(2)=3,a(n+2)+a(n+1)-6a(n)=0(n=1,2,3,・・・)
で定める。また、α、βを
a(n+2)-αa(n+1)=β(a(n+1)-αa(n))(n=1,2,3,・・・)
を満たす実数とする。ただし、α<βとする。次の問いに答えよ。
(1)a(3),a(4)を求めよ。
(2)α,βを求めよ。
(3)n=1,2,3,・・・に対しb(n)=a(n+1)-αa(n)とおくとき、数列{b(n)}の一般項を求めよ。
(4)n=1,2,3,・・・に対しc(n)=a(n+1)-βa(n)とおくとき、数列{c(n)}は等比数列である。数列{c(n)}の公比と一般項を求めよ。
(5)数列{a(n)}の一般項を求めよ。

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

「３項間の漸化式」の問題ですね。もし，（１）～（４）の分題がなくとも，この（１）～（４）の手順を踏んで解くことになります。この手順も良く覚えてください。

（１）
漸化式にn=1を代入すると，a(3)+a(2)-6a(1)=0から
a(3)+3-6*1=0
a(3)=3　……（答）
漸化式にn=2を代入すると，a(4)+a(3)-6a(2)=0から
a(4)+3-6*3=0
a(4)=15　……(答）

（２）
a(n+2)-αa(n+1)=β(a(n+1)-αa(n))
を展開して，並べなおすと
a(n+2)-(α+β)a(n+1)+αβa(n)=0
これを漸化式と比較して
α+β=-1　……①
αβ=-6　……②
となります。これを満たすαとβを求めます。
（①②を普通に連立方程式を解いても良いのですが，「解と係数の関係」を使って見ましょう）
２次方程式の解と係数の関係から，αとβは次の２次方程式の２つの解である。
x^2+x-6=0
これを解きます。因数分解して
(x+3)(x-2)=0
x=-3,2
（（注意）αとβはこの-3と2を分け合います。つまりα=-3,β=2またはα=2,=-3です。ただ，この問題では……）
条件α＜βより
α=-3,β=2　……（答）

（３）
（２）で求めたことから
a(n+2)-(-3)a(n+1)=2(a(n+1)-(-3)a(n))　……③
a(n+2)+3a(n+1)=2(a(n+1)+3a(n))
条件より
b(n)=a(n+1)+3a(n)
だから③より
b(n+1)=2b(n)
b(1)=a(2)+3a(1)=3+3=6
よって数列{b(n)}は初項が6で公比が2の等比数列であることがわかります。
∴b(n)=6*2^(n-1)　……（答）

（４）
a(n+2)-αa(n+1)=β(a(n+1)-αa(n))
を満たすαとβは，（２）での（注意）に述べたように，α=2,=-3もそうなのです。つまり
a(n+2)-2a(n+1)=-3(a(n+1)-2a(n))
c(n)=a(n+1)-2a(n)
とおくのだから
c(n+1)=-3c(n)
c(1)=a(2)-2a(1)=3-2=1
これから数列{c(n)}は初項が1で公比が-3の等比数列である。
c(n)=1*(-3)^(n-1)

（５）
（３）（４）から
b(n)=a(n+1)+3a(n)，c(n)=a(n+1)-2a(n)
とおいたのに対して
b(n)=5*2^(n-1),c(n)=1*(-3)^(n-1)と求まったのですから
a(n+1)+3a(n)=6*2^(n-1)　……④
a(n+1)-2a(n)=1*(-3)^(n-1)　……⑤
となりますね。
ここからa(n)を出せばよいのです。どうしますか？
④-⑤を計算すると都合よくa(n+1)が消えてa(n)だけが残りますね。
（これもa(n+1),a(n)を未知数とするひとつの連室方程式ですね）
④-⑤を求めると
5a(n)=6*2^(n-1)-1*(-3)^(n-1)
a(n)=(6*2^(n-1)-1*(-3)^(n-1))/5
a(n)=(3*2^n-(-3)^(n-1))/5　……（答）
（6=3*2なのでこの2を2^(n-1)にかけて2^nにしました）

※（実験つまり検算）
a(1)=(3*2^1-(-3)^0/5=(6-1)/5=5/5=1
a(2)=(3*2^2-(-3)^1)/5=15/5=3
合っていますね。

お礼

ありがとうございました。