同次元連立一次方程式において自明でない解を持つ

質問

松坂和夫著『線形代数入門』からの質問です。
同次連立一次方程式においてn>mならば自明でない実数解を持つみたいです。
↓同次連立一次方程式
a_11x_1 + a_12x_2 + … + a_1nx_n = 0
a_21x_1 + a_22x_2+ … + a_2nx_n = 0
……
a_m1x_1 + a_m2x2 + … + a_mnx_n = 0

この証明なんですが、mというのは方程式の数で、nというのは未知数の個数ですよね。
だったらm=nだとこの方程式が解けるようにおもえます。
命題の意味と証明がいまいち理解できないです。

この証明において著者は帰納法を使って証明しているのですが、いまいちピンときません。

回答No.3

noname#152422 · ベストアンサー

第ｉ行j列の成分がa_ijであるようなm×n行列の階数がnならば自明な解しかもちませんが、階数がnより小さければ自明でない解を持ちます。

方程式の数というよりも、独立な方程式がいくつあるかが肝心です。
m=nでも独立な方程式の数がnより少ないことがあります。

たとえば、n=3として

x_1 = 0
x_2 + x_3 = 0
x_1 + x_2 + x_3 = 0

の方程式の数は（m=）3ですが、独立な方程式の数は2なので自明でない解があります。

お礼

回答ありがとうございます。
m=nの場合においても自明解でない解があることに気づきました。
ようするに、m<nの時においてだけは、必ず自明解以外の解があるということですね。
それ以外においては、自明解だけしかもたない可能性があるということですね？

回答No.4

noname#152422

> それ以外においては、自明解だけしかもたない可能性があるということですね？

3番の説明で出てきた行列をAとすると、

n=rank(A)のとき自明でない解をもちません。

n>rank(A)のとき解の空間Ker Aの次元はn-rank(A)(>0)となり、自明でない解を必ずもちます。

お礼

何回もありがとうございます。
rankという概念は昔かじった程度で、この教材においてはまだ出てきていないのですが、

rankを使えばこのようにすっきり説明できるんですね。ありがとうございました。

回答No.2

nag0720

x_1=x_2=・・・=x_n=0
を自明な解といいます。

m=nのときは、自明な解以外の解を持つとは限りません。

お礼

回答ありがとうございます。
ヒントを得られました。
具体例を考えてみると、定数項が０なんだから、m＝nだとむしろ自明な解しかもたないですね。
m>nでもn個の方程式を全部使うと、自明な解が出てくるので、それ以外の場合だから
n>mという仮定がいるんですね。
n>mという仮定があって初めて、自明な解以外の可能性がでてくるということですね。

補足

m=nだと自明な解以外を持つ場合もあるけれど、自明な解以外の解を持つとは限らないんですね。
少し認識がずれていました。

回答No.1

NNori

よくわかんないけど、m=n=1 だと
a11 × x11 = 0
となって解けないように思います。

補足

その場合自明な解ですね。