連立一次方程式の解の幾何学的理解

質問

線形代数に関連して、

連立一次方程式
a1x+b1y+c1z＝d1
a2x+b2y+c2z＝d2
a3x+b3y+c3z＝d3
の解を求めることは空間的にどのような図形の交点を求めることなのか、解の有無で場合分けしてそれぞれの交わり方の例を図示せよ。

という問題があるのですが、これは３つの平面の交わりを考えれば良いのでしょうか？
いまいち理解ができないので、ご助力いただければと思います。

回答No.2

funoe · ベストアンサー

そうです。

a1x+b1y+c1z＝d1
という等式は、R^3空間の中の「点の集合」のx,y,z座標が満たすべき関係を定義しているもので、幾何的には、平面になります。

同様に、a2x+b2y+c2z＝d2
も、R^3の中の、ある「点の集合」（部分集合）を定義します。

この２つの部分集合の共通部分は、
２つの平面の交わっているところになり、
平面が平行でなければ、直線になります。

３つめの部分集合（a3x+b3y+c3z＝d3を満たす(x,y,z)：平面）によって、３つの平面が互いに平行でなければ、「1点」が共通部分になります。

どれか1組が平行だと解なし、どれか1組が一致している（定数倍を除き）と、共通部分は直線になりそうですね。

お礼

丁寧なご説明をありがとうございます！！
３つの未知数なのになんで立体じゃないんだろう、と見当違いな方向に向いていた疑問を修正することができました。

回答No.1

vigo24

こんにちは。

連立一次方程式
a1x+b1y+c1z＝d1・・・(1)
a2x+b2y+c2z＝d2・・・(2)
a3x+b3y+c3z＝d3・・・(3)

>これは３つの平面の交わりを考えれば良いのでしょうか？

そうだと思います。

例えば(1)、(2)、(3)のうちの２平面が平行の時は解を持ちませんし、
３平面が交わる場合でもa,b,dの条件によってその交わりが直線のこともあれば、1点のこともあります。

どうゆう場合に解なしで、どうゆう場合に直線となり、どうゆう場合に
1点になるか、それぞれの場合のa,b,cの条件を求めろ、ということではないでしょうか？

お礼

わかりやすいご説明をありがとうございます。
助かりました！！