せっかく だ KARA

質問

2002 数学 基礎　（河添）試験問題　4x^3-5*x+8 の原始函数Fを求めなさい　（F(0)=0とする）。
　　　　　　　　　　　　　　　に　遭遇しました。

せっかくだから　以下をも願います;
C; y=F(x) の 2重接線Tを　　\[FilledCircle]多様な発想で\[FilledCircle]　求め　接点をも明記願います；
CとT で囲まれる部分の面積を求めて下さい;

Log[(1+Sqrt[1+4x])/2]/x の原始函数Fを求め F(1)-F(0)を求めよ；

回答No.1

info222_

[前半だけ]
F'(x)=4x^3-5*x+8
F(x)= ∫ 4x^3-5*x+8 dx= x^4 -(5/2)x^2 +8x+C
F(0)=C=0 より C=0
原始関数F(x)= x^4 -(5/2)x^2 +8x
F(x)-(ax+b)=x^4-(5/2)x^2+(8-a)x-b ≡ (x-c)^2*(x-d)^2 (c<d)
0=2(c+d), -5/2=c^2+d^2+4cd, 8-a= -2cd(c+d), -b=c^2*d^2
∴a=8,b=-25/16,c=-sqrt(5)/2,d=sqrt(5)/2
2重接線T:y=8x-25/16
接点:(-sqrt(5)/2, -4 sqrt(5)-25/16 ), (sqrt(5)/2, 4 sqrt(5)-25/16)
CとT で囲まれる部分の面積S1:
S1= ∫[-sqrt(5)/2, sqrt(5)/2] x^4 -(5/2)x^2 +8x -(8x-25/16) dx
= [x^5/5-(5/6)x^3+(25/16)x][-sqrt(5)/2, sqrt(5)/2]
=sqrt(5)(5/16 -25/24+25/16)
= (5/6) sqrt(5)
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