平面の方程式の問題

質問

2点(2,1,-1),(3,2,19)を通り、平面4x-y-z+2=0に垂直な平面の方程式の求め方が分かりません。
答えは、x+9y-5z-16=0です。
通る点が分かっているので、後は法線ベクトルを求めれば解けると思うのですが・・・その辺が今ひとつ分かりません。
分かる方いらっしゃいましたら教えてください。

回答No.3

sakura_214 · ベストアンサー

> 2点(2,1,-1),(3,2,19)を通り、

問題文ですが，(3,2,19)ではなく正しくは(3,2,1)だと思いますので，以下それで進めます．（でないと答えのx+9y-5z-16=0を通らない^^）

> 通る点が分かっているので、後は法線ベクトルを求めれば解けると思う

この方針でいいと思います．ではどうやってその法線ベクトルを求めるかですが，まず平面4x-y-z+2=0に垂直であるので，この法線ベクトルは平面4x-y-z+2=0の法線ベクトル(4,-1,-1)に垂直であるとわかります．また2点(2,1,-1),(3,2,1)を通るので，この2点が作る方向ベクトル(3,2,1)-(2,1,-1)=(1,1,2)とも垂直であるとわかります．つまり，求める法線ベクトルはベクトル(4,-1,-1)と(1,1,2)の両方に垂直であるとわかります．

空間ベクトルでは，時々この問題のように２つのベクトルに垂直なベクトルを求める必要があるときがありますが，もしあなたが外積（←これ自体は高校数学の範囲外ですが計算は知っておくと便利です）を知っているならば，
(1,1,2)×(4,-1,-1)=(1,9,-5)
として直接求めることができます．知らなくても求めるベクトルを(a,b,c)とおいて内積から
(a,b,c)・(1,1,2)=a+b+2c=0
(a,b,c)・(4,-1,-1)=4a-b-c=0
より
c=-5a, b=-9a
となるので，(a,9a,-5a)∥(1,9,-5)と求めることができます．（aは0以外なら互いに平行なのでa=1とした）

よって，求める平面の方程式は，
x+9y-5z=16 （←左辺にそのまま通る点（どちらでもいい）を代入させればよい）
となります．

※(1,1,2)と(4,-1,-1)の外積は，互いに（y成分，z成分，x成分，y成分）の順に並べ，上下左右隣り合う４つの数字同士で（左の対角線同士の数の積）－（右の対角線同士の数の積）を計算してあげます．
( 1, 2, 1, 1)
(-1, -1, 4, -1)
--------------------
　1,　9,　-5　←これが外積の結果

お礼

>問題文ですが，(3,2,19)ではなく正しくは(3,2,1)だと思います

そのとおりです(汗)。すいません投稿してから気がついたのですが、直し忘れていました。

非常にわかり易く丁寧な回答ありがとうございます。頭の固い自分でも理解できました。本当に助かりました。

回答No.2

p-masa

求める平面lの方程式を
px+qy+rz+s=0とおく。
ここで、平面4x-y-z+2=0に垂直であることからp≠0
これより、px+qy+rz+s=0の両辺をpで割る。
x+q/py+r/pz+s/p=0
ここで、q/p=b,r/p=c,s/p=dとおくと、求める方程式は
x+by+cz+d=0と表せる。
てな感じです。

大切なこととして、平面は３点が決まると１つに決められる、つまり3つの値で定義できる、という感覚です。
直線の方程式もax+by+c=0と表したりしますが、これも1つ多いのです(中学ではy=ax+bと2つで済ませていた)。
では何故、教科書などで、わざわざこんな文字が1つ多い表現を使うかというと、px+qy+rz+s=0のpはp=0もありうるという点です(q,r,sでも同じ)。例えばz=3はz軸に垂直な平面ですが、この平面は当然x+by+cz+d=0という式からでは導くことはできません。つまり、px+qy+rz+s=0という表現は例外なくすべての平面を表すことができるという意味で優れているのです。

お礼

回答ありがとうございます。式の意味が以前よりはっきりと見えるようになった気がします。

回答No.1

p-masa

求める平面の方程式を
x+by+cz+d=0…(1)とおくと、
この平面の法線ベクトルは(1,b,c)
ここで、
(平面4x-y-z+2=0)⊥(平面x+by+cz+d=0)
より、それぞれの平面の法線ベクトルも垂直なので
(4,-1,-1)・(1,b,c)=0
あとは、(1)に2点(2,1,-1),(3,2,19)を代入して、b,c,dの連立方程式を解けば良いのでは…

お礼

回答ありがとうございました。説明不足ですみませんでした。

補足

p-masaさんのやり方で解くことができたのですが、とき方について質問があります。(何度もすみません)
x+by+cz+d=0とおくと、確かに法線ベクトルは(1,b,c)ですが、なぜax+by+cz+d=0とおかなくて大丈夫なのでしょうか？a=1と最初から分かるのですか？