空間上の円の方程式について

質問

空間上にある、3点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)
P3(x3,y3,z3)を通る円の方程式を求めよ。

平面の方程式は、法線ベクトルにより
求められる所までは分かっています。
空間における円の方程式は、球と平面の
交線で表せるというのは、わかったのですが、
この後、どーすれば良いのかが分かりません。

どなたか、よろしくお願いします。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

３点を通る円の方程式でしょ？球じゃなくて。
適当な座標変換
(X,Y,Z)' = A (x,y,z)'
（'は転置、Aは実数値の3×3行列で、AA' = I (単位行列)）を使って、与えられた３点が
(X1,Y1,0), (X2,Y2,0), (X3,Y3,0)
に変換されるようにすれば、（このようなAは何通りもあります。）
Z=0の平面上の３点を通る円を決める問題になります。

　円の方程式
(X-B)^2　+　(Y-C)^2　=　R^2
は、３次元で見るとZが出てこない訳ですから、（球ではなく）軸がZ軸と平行な円柱を表しています。この方程式（つまりB,C,Rの値）が得られたら、これと、方程式
(X,Y,0)' = A (x,y,z)'
（Z=0の平面を表します。）とを連立させれば、X,Yが直ちに消去でき、x,y,zを含む２本の方程式が得られます。

お礼

回答ありがとうございました。
今から、やってみます。

回答No.3

motsuan

失礼しました。昨日はべろべろに酔っ払っていたようで
（他のところでも絡んでいたようで情けないです）
stomachmanさんご指摘のように
全く問題を理解していなかったようで、ご迷惑おかけしました。

せっかくなのでstomachmanさんと違う筋で。
作図の問題として考えれば
平明内であれば２点間の垂直２等分線の交点が円の中心を与えますよね。
それを拡張してたとえば３点を含む平面内での
P1-P2の垂直２等分線を求めます。

点Pi、点Pi-Pj間のベクトルをそれぞれ v{i}、v{ij} と表すと
中点：
　　v1=(v{1}+v{2})/2
法線ベクトル（規格化していません。”・”は内積です。）：
　　v2 = v{31} - [(v{21})・(v{31})] (v{21})/|v{21}|^2
垂直２等分線：
　　v1+s*v2 （ｓはパラメータ）
となります。
あとはもう一組の垂直２等分線を求めて、連立方程式を解けば
円の中点ベクトルvcが求められます。
あとは、ベクトルxに対して、
平面の法線ベクトル（たとえば外積を使ってvn=v{21}×v{31})
　(x-vc)・(x-vc)=r^2,
　(x-vc)・vn = 0
とするのでしょうか。

以上失礼しました。

お礼

回答ありがとうございました。
今から、やってみます。

回答No.1

motsuan

球が与えられた３点を通るとすると
その３点はその３点を含む平面による断面の円上にあるはずです。
では、その円を含む球は一意的に決められるでしょうか？
２点を通る円の方程式を考えればわかるようにたくさん有ります。
そこで、球の方程式を求めれば良いという立場にたちます。

幾何学的には、比較的簡単で３点を含む平面においてて３点を通る円の中心から、その平面の法線方向に中心を持つような球を考えればよく、それを方程式であらわせばよいのではないでしょうか？