平面

質問

点(-1,1,2)を通り平面2x-y＋3z-2=0に直交する平面の方程式は？
図もよくわかりません

1.x-y-z＋4=0, 2.3x-9y＋z＋8=0 , 3.x-y-z-5=0 , 4.3x-9y-z＋14=0
5. 3x＋9y＋z－8＝0

から選ぶ問題です
法線ベクトルが(2, -1, 3)はどこの式から判断するのですか？

2x-y＋3zからですか？

ベクトルの範囲を調べたのですがどのように求めるかわかりません。

おしえてください
おねがしいます

回答No.4

p-masa

>>なぜ１番なのですか？
zaki_shinさんフォローありがとうございます。

補足

選択で答を選ぶじゃないですか。
それで答が１番だから
どうしてかな？と思ったんです
説明がへたですいません

回答No.3

zaki_shin

＃1です。
点(-1,1,2)を通るってとこを忘れてましたね。。

＞なぜ１番なのですか？

法線ベクトルっていうのは、面に垂直なベクトルですよね。
であれば、2つの面が垂直だったら、その法線ベクトル同士も当然垂直ですよね。
そして、垂直なベクトルの内積は0になります。

ベクトルa,bのなす角度をθとすると、その内積は
|a||b|cosθ、cos90°=0なので、直交するベクトルの内積は0です。

ちなみに、証明は割愛しますが、a=(a1,a2,a3) b=(b1,b2,b3)であれば、内積はa1b1+a2b2+a3b3と表すこともできます。

回答No.2

p-masa

★点(α,β,γ)を通り、ベクトル(a,b,c)を法線ベクトルとする平面は、
a(x-α)+b(y-β)+c(z-γ)=0…(1)と表すことが出来ます。
そして、これを展開して
ax+by+cz-aα-bβ-cγ=0の
-aα-bβ-cγを -aα-bβ-cγ=dとおき、
ax+by+cz+d=0…(2)
一般に、(1),(2)が平面の方程式と呼ばれるものです。

よってこの問題は、点(-1,1,2)を通るものということで、1と4と5
1.の法線ベクトルは(1,-1,-1)
4.の法線ベクトルは(3,-9,-1)
5.の法線ベクトルは(3,9,1)
平面2x-y＋3z-2=0の法線ベクトルは(2,-1,3)
2平面が垂直のとき、それぞれの法線ベクトルも垂直(内積=0)となるので、条件をみたすのは、1となります。

ちなみに★の簡単な証明
点Ａ(α,β,γ)を通り、ベクトルm(a,b,c)を法線ベクトルとする平面上の任意の点をＰ(x,y,z)とすると、
ベクトルＡＰ⊥mより
(x-α,y-β,z-γ)・(a,b,c)=0
ゆえに、a(x-α)+b(y-β)+c(z-γ)=0

補足

すいません。
よくわかりません。
なぜ１番なのですか
？

回答No.1

zaki_shin

法線ベクトルの求め方はその通りです。

選択肢の方程式からも同様に法線ベクトルを求めて、
(2,-1,3)との内積が0になるのを選べばよいと思います。

平面が直交するのだから、法線ベクトルも当然直交します。