空間座標の問題。

質問

空間内に直線(x-１)/3=(y-1)/2=z-2を含む平面πがある。
(1)πが平面3x+6y-z=0に垂直であるとき、πの方程式を求めよ。
という問題がありました。

まず
3x+6y-z=0の法線ベクトルの成分は(3,6,-1)
次に
(x-１)/3=(y-1)/2=z-2=tとおくと
(x-1,y-1,z-2)=t(3,2,1)
よって法線ベクトルとこの成分のベクトルが平行になればよいので(x-1,y-1,z-2)=k(3,6,-1)
kを消去してx-y-3z+6=0と出ました。
答えはあってるでしょうか？

回答No.2

kumipapa

あっているかどうかは、自分で確認しましょう。
・　3x + 6y - z = 0 に垂直かどうか
3x + 6y - z = 0 の法線ベクトルは (3 , 6, -1)
求めた x - y - 3z + 6 = 0 の法線ベクトルは (1, -1, -3)
この２本のベクトルはちゃんと垂直になってますね。そういう条件を入れて解いたのだから当然ですが。
・　直線 (x - 1)/3 = (y - 1)/2 = z - 2 を含んでいるかどうか
直線をパラメタ表示して、x = 3t + 1, y = 2t + 1, z = t + 2
これらを求めた平面の式に代入すると、
(3t + 1) - (2t + 1) - 3(t + 2) + 6 = -2t ???
恒等的に = 0 にならなければならないのに、なりません。
つまり、求めた平面には、与えられた直線が含まれていない。

＞　よって法線ベクトルとこの成分のベクトルが平行になればよいので　(x-1,y-1,z-2)=k(3,6,-1)

申し訳ありませんが、意味不明です。ご自分で何をしているかちゃんと分かっていますか？ご自分の回答を冷静に御覧なさい。平面上にあるべき直線の方向ベクトル（3,2,1) や直線の式が、ほぼ無視されちゃってるのが分かりますか？結果として配慮されているのは、直線上のただ１点 (1,1,2) という座標のみ？　これでは、与えられた直線が平面の上にのるはずがないですね。

求めるべき平面の式を、ax + by + cz + d = 0 でもいいし、a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 2) = 0 でもいいから、まあ適当において、
２つの平面が垂直　⇔　(a , b, c) ⊥ (3, 6, -1)
直線を含む　⇔　(3t + 1, 2t + 1, t + 2) は t の値によらず平面の式を成立させる

の２つの条件から平面の式の係数を求めればよいだけのことです。
与えられた条件を、一つ一つ忠実に式で表現して地道に解いてみましょう。
#1 さん同様、私も 4x - 3y - 6z + 11 = 0 を得ました。

回答No.1

oyaoya65

> よって法線ベクトルとこの成分のベクトルが平行になればよいので
ベクトル同士は平行ではなくて、
平面πと法線ベクトルが平行です。
πは
最初の直線：(x-1,y-1,z-2)=t(3,2,1)
と直線：(x-1,y-1,z-2)=k(3,6,-1)
とが作る平面ですよ。

> x-y-3z+6=0と出ました。
間違いです。

求めてみると4x-3y-6z+11=0となりました。