二次関数の場合分け

質問

二次関数ｙ＝x^２－２ax　の０≦ｘ≦２における最小値を求めなさい

というような問題ではｘの範囲に制限があるためａの値の場合分けをしますよね。
そこで、場合分けはどのようにすればよいのでしょうか？

この問題は例としてですので、一般的な方法を教えて下さい。

回答No.3

oshiete_goo · ベストアンサー

#1の補足です.
ご質問が下に凸の2次関数の最小値の話だったので, 先述のような回答をしましたが, グラフを描きながら考えて自然に場合分けができるようにしておくことをお薦めします.

また, 下に凸の2次関数だと, 最大値の場合は話が変わってきて, 0≦x≦2の区間の端(x=0またはx=2の点)で最大値をとるので,

軸x=aが区間0≦x≦2の中央を境にどちら側かで違ってきて,
a＜1(x=2で最大), a=1(x=0,2で最大), a＞1(x=0で最大)
となることは理解した上で，違いに注意しておくと良いでしょう．

いずれにしても，断片的に覚えるよりは，グラフを描きながら場合分けの必要性を判断できるように理解しておいた方が，他の問題に当たったときに応用がきくので良いと思います．

お礼

２度も回答ありがとうございました。

グラフを描いてその時に応じた場合分けをすればいいんですね。
非常にわかりやすかったです。

またよろしくお願いします。

回答No.4

Mell-Lily

場合分けの一般的な方法、というものはありません。基本的に、それぞれの問題に応じて、一々グラフを書いて考えなければなりません。この問題のポイントは、この場合分けにあります。あえて言いますと、二次関数のグラフの頂点や定点に着目します。

例えば、二次関数
　y=x^2-2ax=x(x-2a)
のグラフは、x軸と点(0,0)と(2a,0)で交わり、下に凸です。2a≦0、すなわち、a≦0なら、0≦x≦2の範囲で、x=0のとき最小値y=0を取り、2a>0、すなわち、a>0なら、頂点のx座標x=aが、0≦x≦2の範囲にあるかどうかで場合分けします。0<a≦2なら、最小値y=-a^2、a>2なら、最小値y=4-4aです。

お礼

頂点や定点に着目、ですね。

高校生に二次関数を教えていたのですが、私自身、勉強したのが数年前のことで忘れてしまっていました。
生徒に質問されてうまく答えられなかったのが情けないです・・・。

皆様の御回答のおかげでうまく答える事ができました。
ありがとうございました。

回答No.2

kony0

No.1でoshiete_gooさんが答えられているとおりなのですが、
「２次関数の軸が定義域（範囲）に対してどちらにあるか？」
が、とりあえずの鍵になるんでしょうね。
場合によっては、軸が定義域の左半分にあるか右半分にあるかによる場合わけが必要になることもあるでしょう。（たとえば、例題で「最大値を求めなさい」の場合など）

お礼

軸が定義域の左半分にあるか右半分にあるかで場合分けするんですね。
非常に良くわかりました。

ご回答ありがとうございました。
またよろしくお願いします。

回答No.1

oshiete_goo

y=x^2 -2ax=(x-a)^2-a^2
より, 軸はx=aですから,
考えている区間に軸（つまりは頂点）があるかどうかがカギで，

１) a＜0, 0≦a≦2, 2＜a　（区間の左，間，右）
２）a≦0, 0＜a＜2, 2≦a　

のどちらかが普通でしょう．
１）の方が分かり易い感じはするかもしれませんが，２）の方がある意味ではうまいのかも知れません．まあお好みでいいと思います．