二次関数 場合分け

質問

二次関数
y=s^2+ax+1（-2≦x≦2）
で、最大・最小を求める問題があった場合、場合分けということをするんだと思うんですが、それが全く分かりません。
a≦?,?≦a≦?,a≧?
とか、このはてなの部分はどうやって見つければいいんですか？
教えてください。

回答No.5

hirosh

場合分け…私も苦手でしたぁ。
今は大丈夫。皆さんが言われているとおりで、図にして目で確認するのが一番。でもどこに注目して見ればいいのかさえ分からない、のでは？

二次関数で、注目すべきはズバリ「軸」と-2≦x≦2という範囲の「両端」（この場合-2と2）に注目。

まず、二次関数が
（１）下に凸か、
（２）上に凸か
で場合分け。

（１）下に凸なら、最小値は「軸」に現れるはずですが…ここで更に…
　（１のア）軸が-2≦x≦2の範囲外か、
　（１のイ）それとも範囲内か
で場合分け。

（１のア）肝心の「軸」が-2≦x≦2の範囲の外に来てしまう場合。つまり「軸」のxの値がx<-2または2<x（つまり範囲の外）の場合。
最小値はその軸に近い方の境界線上（x=-2かX=2の時）に現れるはずだし、
最大値はその反対側の境界線上に現れるのです。

（１のイ）「軸」が範囲内にある場合。
最小値はもちろん軸上に現れますし、
最大値は軸から遠い方の境界線上に現れます。

（２）上に凸なら、最大値が「軸」上にあらわれますが、…更に
（２のア）肝心の軸が-2≦x≦2の範囲外にある場合。
最大値は軸に近い方の境界線上に現れるし、
最小値は反対側の境界線上に現れます。

（２のイ）軸が-2≦x≦2の範囲内にある場合。
最大値は「軸」上に現れますし、
最小値は軸から遠い方の境界線上に現れます。

というのでは？図解できれば一発なんですけどねぇ。ことばだと難しい。

回答No.4

kakkysan

この手の問題（グラフや定義域が変動する場合の最大値最小値を求める問題）ではグラフがどのように変化していくかをみてみるのが一番よいと思います。下記のURLからグラフを描くソフトをインストールし、ａが変化したときの-2≦x≦2での最大値・最小値はどこになるかを目で確かめると、問題を解くこつがつかめると思います。

参考URL：

http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/volume.html

回答No.3

noname#21219

♯2です。補足と訂正をします。

最大値、最小値を調べるときには、xの範囲で場合わけをします×　aの範囲で場合わけ○

グラフをすべらせていくというのは、実際に下に凸の2次関数
のグラフを描いて、それを領域-2≦x≦2に左から入れていく、ということです。

また、＜＜グラフの頂点x=-a/2が
まだ-2≦x≦2という領域に含まれないとき
というのは、頂点-a/2≦-2という意味です。グラフを描けば簡単に分かるかと思います。よって、a≧4です。
このときに、グラフの頂点が領域にまだ含まれてないから、最小値x=-2のところ、最大値x=2のところです。
もちろん、実際にx=-2を代入して最小値を求めます。

同様に、グラフの頂点が領域-2≦x≦2から抜け切ったとき、頂点-a/2≧2ですからa≦-4で最小値x=2のところ、最大値x=-2のところです。

回答No.2

noname#21219

y=x^2+ax+1=(x＋a/2)^2-a^2/4＋1と変形できます。

このグラフは、下に凸です。頂点は(-a/2,1-a^2/4)
です。最大値、最小値を調べるときには、xの範囲で場合わけをします。

（-2≦x≦2）という長さ4の定規のなかに、
y=x^2+ax+1=(x＋a/2)^2-a^2/4＋1というグラフ全体を
aを動かすことにより左からすべらせていれます。グラフの頂点x=-a/2が
まだ-2≦x≦2という領域に含まれないとき、最小値は
x=-2のところです。最大値はx=2のところになります。
次に、グラフの頂点が領域に含まれるようになったら、最小値は無条件に頂点x=-a/2,最大値は
-2≦-a/2≦0ならx=2,0≦-a/2≦2ならx=-2のところというのは、グラフを実際にすべらせていくと容易に分かります。頂点が、-2≦x≦2という領域から完全に抜け切ったら、最小値はx=2,最大値はx=-2のところで
す。

回答No.1

macus

y=s^2+ax+1（-2≦x≦2）

sってxの間違え？