二つの漸近線から双曲線を求める方法。楕円では？

質問

標準形の双曲線の方程式
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
において、
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 0
⇔
(x/a + y/b)=0 or (x/a - y/b)=0
を考えると、これは二つの漸近線を意味しています。

逆に、二直線px+qy+1=0とrx+sy+1=0が与えられたとき、それを二つの漸近線とする一般の双曲線群は、
(px+qy+1)(rx+sy+1)=k
と表されます。

次に、標準形の楕円の方程式
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
において、
(x/a + y/b)=0 or (x/a - y/b)=0
は、画像のように、「楕円を頂点で接する長方形で囲ったとき、長方形の二つの対角線」を意味します。

では、二直線px+qy+1=0とrx+sy+1=0が与えられたとき、それを「楕円を頂点で接する長方形で囲ったとき、長方形の二つの対角線」とする楕円群は、どのように表されるのでしょうか？

類似を考えて上のような問題設定にしたのですが、もしかしたら設定自体が不適切なのかもしれません。
とにかく一年以上前から考えているのですが、思いつかないので、いいアイデアがありましたら教えてください。

回答No.2

Akira_Oji

No.1 のAkira Ojiです。
ひとつだけいい忘れたことがあります。

貴方がいわれていることを繰り返しますと
「標準形の双曲線の方程式
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
において、
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 0
⇔
(x/a + y/b)=0 or (x/a - y/b)=0
を考えると、これは二つの漸近線を意味しています。」

標準形の双曲線の方程式で　x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1　右辺の「１」を「０」に置き換えたときに「何をしたか」というとわたしの第１回答内で２組の外接する双曲線
(x/a)^2-(y/b)^2=R^2　と　(x/a)^2-(y/b)^2=-R^2

の「長方形」のサイズを表す、横 Ra,　縦 Rb のパラメータRを「０」にしたことになります。すなわち。外接する長方形が限りなく小さくなったとき、それに外接していた双曲線は双曲線の「漸近線」になったことになります。x^2/a^2 - y^2/b^2 = 0　⇔　(x/a + y/b)=0 or (x/a - y/b)=0
そのとき、「内接していた楕円」は「原点に退化して」１点（原点）になったということです。x^2/a^2 ＋ y^2/b^2 = 0　⇔　x=0,y=0

原点を「中心」とするいろいろな「長方形」横 Ra,　縦 Rb の３つのパラメータ (R,a,b)　[実は独立な２つのパラメータ、a'=Ra と　b'=Rb]でそれに外接・内接する双曲線・楕円の対応する組が曲線群として漸近線を含めて決まる、ということです。

回答No.1

Akira_Oji

問題設定が悪いとは思いませんが、楕円(x/a)^2+(y/b)^2=1が内接する長方形（４本の直線x=a,x=-a,y=b,y=-bで囲まれる長方形)の２つの対角線の延長した直線が,「長方形に外接」する双曲線の２本の漸近線になっているわけです。実は「長方形に外接」する双曲線は２組あります。(x/a)^2-(y/b)^2=1 と　(x/a)^2-(y/b)^2=-1　です。１つの長方形を決めた場合は、１つの楕円と２つの双曲線を決めることになります。

一方、漸近線を決めた場合、双曲線の２本の漸近線を
x/a+y/b=0　と　x/a-y/b=0
とした場合は、その２本の漸近線に関して双曲線群を考えることができます。Rをパラメータとして、
(x/a)^2-(y/b)^2=R^2 と　(x/a)^2-(y/b)^2=-R^2

は２組の双曲線群を表しています。これを標準形に変形すると
(x/aＲ)^2-(y/bＲ)^2=１ と　(x/aＲ)^2-(y/bＲ)^2=-１　

となりますから、外接している長方形がＲ倍に大きくなった２組の双曲線を表しています。そのときには、実はその長方形に内接している楕円があるわけで、(x/aＲ)^2+(y/bＲ)^2=１で表されています。楕円は漸近線と「直接」的には関係していないように見えるので、内接する長方形を通して、その長方形の角を通る２本の対角線が、その「楕円に相補的な」２つの双曲線の漸近線になっている。その「双曲線群」に対応して「楕円群」が決まると考えればいいと思います。